4. Перенос векторов и форм при отображениях.

Посмотрим внимательнее на то, что происходит с функциями (-формами) при отображении областей.

Пусть — отображение области в область Под действием отображения каждая точка переходит в определенную точку области V.

Если на V определена функция то благодаря отображению на области естественно возникает полученная из функция которая определяется равенством

т. е. чтобы найти значение в точке надо отправить в точку и вычислить там значение функции

Таким образом, если при отображении точки области переходят в точки области V, то множество определенных на V функций под действием построенного соответствия отображается (в обратную сторону) в множество функций, определенных на

Иными словами, мы показали, что при отображении естественно возникает отображение которое преобразует заданные на V нуль-формы в нуль-формы, определенные на

Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.

Пусть — гладкое отображение области в область соответствующее отображение касательных пространств, и пусть — некоторая -форма в области V. Тогда форме в области можно сопоставить -форму которая в точке на наборе векторов определяется равенством

Таким образом, каждому гладкому отображению соответствует отображение которое переносит заданные на V формы в область

Из соотношения (17), очевидно, следует, что

Вспомнив закон дифференцирования композиции отображений из (17) заключаем дополнительно, что

(естественный обратный ход: композиция отображений

Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм.

Пример 13. В области возьмем -форму Пусть — координатная запись отображения области в V.

Мы хотим найти координатное представление формы срсо в Берем точку и векторы . В пространстве им отвечают векторы координаты которых выражаются через координаты векторов с помощью матрицы Якоби по формулам

суммирование от 1 до

Таким образом,

Следовательно, мы показали, что

Если воспользоваться свойствами (18) и (19) операции переноса форм и повторить проведенную в последнем примере

выкладку в общем виде, то получим следующее равенство:

Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком , формально сделать замену выразить дифференциалы через дифференциалы и упростить полученное выражение, пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и получим правую часть равенства (21).

Действительно, для каждого фиксированного набора индексов

Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам получаем правую часть соотношения (21).

Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом отношении

Утверждение. Если в область задана дифференциальная форма со, а — гладкое отображение области в V, то координатная запись формы может быть получена из координатной записи

формы со прямой заменой переменных (с последующим преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произведения).

Пример 14. В частности, если то соотношение (21) сводится к равенству

Значит, если под знаком кратного интеграла вместо писать то формула

замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориентацию диффеоморфизмах (т. е. при ) получалась бы автоматически формальной подстановкой подобно тому, как это имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следующий вид:

Заметим в заключение, что если степень взятой в области формы больше, чем размерность области которая отображается посредством в область V, то соответствующая на форма очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение вообще гбворя, не обязано быть инъективным.

С другой стороны, если имеет гладкое обратное отображение то в силу соотношения (20) и равенств получаем, что и поскольку — тождественные отображения соответственно, то отображения , как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными. То есть в этом случае отображение биективно.

Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойствами отображение переноса форм, как можно проверить, удовлетворяет также соотношению

Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что определенная нами в координатном виде операция дифференцирования форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в которой записана дифференцируемая форма . Подробнее эта будет обсуждаться в гл. XV.