§ 2. Многообразие

1. Определение многообразия.

Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой топологии называется -мерным многообразием, если любая его точка имеет окрестность гомеоморфную либо всему пространству либо полупространству

Определение 2. Отображение (или ), осуществляющее указанный в определении 1 гомеоморфизм, называется локальной картой многообразия — областью параметров, районом или областью действия карты на многообразии М.

Локальная карта наделяет каждую точку координатами соответствующей ей точки Таким образом, в районе действия карты вводится локальная система координат, и потому отображение или, в более развернутой записа, пара в самом привычном смысле слова является картой района

Определение 3. Набор карт, районы действия которых в совокупности покрывают все многообразие, Называется атласом многообразия.

Пример 1. Сфера является двумерным многообразием. Если интерпретировать как поверхность Земли, то атлас географических карт будет атласом многообразия

Одномерная сфера — окружность в очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера является -мерным многообразием. (См гл. XII, § 1.)

Замечание 1. Вводимый определением 1 объект (многообра ), очевидно, не изменится, если вместо брать любые гомеоморфные области параметров в пространстве Например, это могут быть открытый куб и куб с присоединенной к нему гранью Такими стандартными областями параметров довольно часто пользуются.

Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка имела в М окрестность гомеоморфную некоторому открытому подмножеству полупространства

Пример 2. Если X — -мерное многообразие с атласом карт -мерное многообразие с атласом то можно рассматривать как -мерное многообразие с атласом где а отображение

переводит в прямое произведение областей определение

В частности, двумерный тор (рис. 69) или n-мерный тор являются многообразиями соответствующей размерности.

Если районы действия двух карт многообразия М пересекаются, т. е. то между множествами — естественно устанавливаются взаимно обратные гомеоморфизмы Где Эти гомеоморфизмы часто называют функциями замены координат, поскольку они осуществляют переход от одной системы локальных координат к другой такой же системе в общей области их действия (рис. 96).

Рис. 96.

Определение 4. Число в определении 1 называется размерностью многообразия М и обычно обозначается символом .

Определение 5. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме точке соответствует точка на границе полупространства то х называют точкой края многообразия М (и окрестности Совокупность всех точек края многообразия М называется краем этого многообразия и обычно обозначается символом

В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема Брауэра) понятия размерности и точки края многообразия

определены корректно, т. е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5 индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не называли, но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции). Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффеоморфизмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэру.

Пример 3. Замкнутей шар или, как говорят, замкнутый -мерный диск, является «-мерным многообразием, краем которого является -мерная сфера

Замечание 2. Многообразием, множество точек края которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без края. В определении 1 эти случаи не разделены.

Утверждение 1. Край n-мерного многообразия с краем М является многообразием без края.

Действительно, а сужение на карт вида атласа многообразия М порождает атлас

Пример 4. Рассмотрим плоский двойной маятник (рис. 97), плечо а которого много меньше плеча и может вращаться свободно, а размах колебаний плеча ограничен упорами. Конфигурация такой системы в любой конкретный момент характеризуется двумя углами . Если бы ограничений не было, то конфигурационное ространство двойного маятника, очевидно, можно было бы отождествить с двумерным тором

Рис. 97.

При наличии указанных ограничений конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется точками цилиндра где — окружность, отвечающая возможным положениям плеча а, а -отрезок, в пределах которого может меняться угол Р, характеризующий положение плеча

В этом случае мы получаем многообразие с краем. Край этого многообразия состоит из двух окружностей являющихся произведением окружности и концов отрезка

Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой координаты на множестве М (в примере это ) возникают естественным чобразом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определении 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать

чтобы на М уже была топология. Суть понятия многообразия в что точки некоторого множества М параметризуются точками некоторого набора подобластей пространства Между появляющимися при этом на частях М системами координат возникает естественная связь, которая выражается в отображениях соответствующих областей пространства Значит, можно считать, что М получается из набора областей пространства указанием закона отождествления их точек или, описательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу. Итак, задать многообразие по существу означает — задать набор подобластей и закон соответствия точек этих подобластей. На дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или отождествления точек, введении топологии на М и т. мы не задерживаемся.

Определение 6. Многообразие называется компактным (Связным), если оно является компактом (связно) как топологическое пространство.

Рассмотренные в примерах 1—4 многообразия компактны и связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра состоит и» двух независимых окружностей и является одномерным компактным, но несвязным многообразием. Край n-мерного диска из примера 3 является компактным многообразием, которое связно при и несвязно (состоит из двух точек) при .

Пример 5. Само пространство очевидно, является связным, некомпактным многообразием безкрая, а полупространство доставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с краем. (И в том и в другом случае атлас можно взять состоящим из единственной карты, отвечающей тождественному отображению.)

Утверждение 2. Если многообразие М связно, то оно линейно связно.

4 Фиксировав точку рассмотрим множество тех точек многообразия М, которые можно соединить с в пределах М некоторым путем. Множество как видно из определения многообразия, непусто, открыто и замкнуто в М Но тогда

Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице порядка сопоставить точку пространства координаты которой получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов матрицы, то группа всех невырожденных матриц порядка превращается в -мерное многообразие. Это многообразие некомпактно (элементы матриц никак не ограничены) и несвязно. Последнее вытекает из того, что содержит матрицы как с положительным, так и с отрицательным определителем. Точки отвечающие двум таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появилась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный нулю).

Пример 7. Группа ортогональных преобразований плоскости имеющих определитель, равный единице, состоит из матриц вида и, таким образом, может считаться многообразием, которое отождествляется с окружностью — областью изменения углового параметра а. Таким образом, одномерное компактное связное многообразие. Если допустить и отражения относительно прямых в плоскости то мы получим группу всех вещественных ортогональных матриц второго, порядка. Ее естественно можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающими матрицам с определителем соответственно. То есть — одномерное компактное, но несвязное многообразие.

Пример 8. Пусть а — вектор плоскости и — группа движений плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Та являются сдвиги на векторы вида , где Под действием элементов группы Та каждая точка х плоскости смещается в точки вида Совокупность точек, в которые данная точка переходит под действием элементов данной группы преобразований, называется орбитой этой точки. Свойство точек принадлежать одной орбите, очевидно, является отношением эквивалентности на и орбиты являются классами эквивалентных в этом смысле точек. Область в содержащая по одной точке каждой орбиты, называют фундаментальной областью данной группы автоморфизмов (уточнение см. в задаче

В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять полосу ширины ограниченную двумя параллельными прямыми, ортогональными вектору а. Следует только учесть, что сами эти прямые получаются друг из друга сдвигом на а и —а соответственно. 15 пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем нет эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей, Так фактор - множество орбит данной группы Та превращается в многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной, области легко понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы ширины

Пример 9. Пусть теперь а и — пара ортогональных векторов плоскости и — группа сдвигов, порожденная этими векторами. Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со сторонами . В пределах этого прямоугольника эквивалентными будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника убеждаемся, что возникающее многообразие гомеоморфно двумерному тору.

Пример 10. Рассмотрим еще группу движений плоскости порожденную следующими преобразованиями:

Фундаментальной областью для группы будет единичный квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам, лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким образом, возникающее многообразие оказывается гомеоморфно бутылке Клейна (см. гл. XII, § 1).

Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, которые были разобраны в § 1 гл. XII.