§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях

1. Касательное пространство к многообразию в точке.

Напомним, что каждому гладкому пути (движению в проходящему в некоторый момент через точку мы сопоставили вектор мгновенной скорости: Совокупность таких векторов связанных с точкой естественно отождествляется с арифметическим пространством и обозначается символом вводятся те же линейные операции над элементами что и над соответствующими элементами линейного пространства Так возникает линейное пространство называемое касательным пространством к в точке

Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь сказать, что формально есть пара состоящая из точки и связанного с нею экземпляра линейного пространства

Пусть теперь М — гладкое -мерное многообразие с атласом А класса гладкости не ниже, чем Мы хотим определить касательный вектор и касательное пространство к многообразию М в точке .

Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касательного вектора как мгновенной скорости Возьмем гладкий путь на многообразии М, проходящий в момент через точку Параметры карт (т. е. локальныекоординаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой х, снабжая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером координаты. Итак, в области параметров каждой карты район действия которой содержит точку пути y отвечает свой путь который является гладким по определению гладкого отображения .

Таким образом, в области параметров карты где есть отображение возникает точка и вектор другой такой карте это будут соответственно точка и вектор Естественно считать, что это координатные выражения в различных картах того, что мы хотели бы назвать касательным вектором к многообразию М в точке .

Между координатами действуют гладкие взаимно обратные функции перехода

в результате чего пары оказываются связанными соотношениями

Равенства (3), очевидно, вытекают из формул

получающихся из (1) в результате дифференцирования.

Определение 1. Будем говорить, что задан вектор , касательный к многообразию М в точке , если в каждом пространстве касательном к в точке отвечающей точке в области параметров карты где фиксирован вектор причем так, что выполняются соотношения (3).

Если элементы матрицы Якоби отображения записать в явном виде то получаем, таким образом, следующую явную формулу связи двух координатных представлений одного и того же вектора

где частные производные вычисляются в соответствующей точке

Обозначим через совокупность векторов, касательных к многообразию М в точке .

Определение 2. Если линейную структуру на множестве ввести, отождествляя с соответствующим пространством т. е. суммой векторов из считать вектор, координатное представление которого в отвечает сумме координатных представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначается обычно одним из символов и называется касательным пространством к многообразию М в точке

Из формул (3), (4) видно, что введенная в линейная структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т. е. в этом смысле определение 2 корректно

Итак, мы определили касательное пространство к многообразию. Интерпретации касательного вектора и касательного пространства могут быть различными (см. задачу 1). Например, одной из таких интерпретаций является отождествление касательного вектора с линейным функционалом Это отождествление основано на следующем наблюдении, которое мы сделаем в

Каждый вектор есть вектор скорости, отвечающий некоторому гладкому пути причем Это позволяет определить производную в точке по вектору от гладкой функции заданной в (или в окрестности точки . А именно:

т. е.

где — касательное к отображение (дифференциал в точке

Функционал сопоставляемый формулами (5), (6) вектору очевидно, линеен по Из формулы (6) видно также, что величина при фиксированной функции линейно зависит от е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих линейных функционалов, а умножение вектора на число отвечает умножение функционала на это же число. Таким образом, между линейным пространством и линейным пространством соответствующих линейных функционалов имеется изоморфизм. Остается определить линейный функционал указав набор его характеристических свойств, чтобы получить

новую, но, конечно, изоморфную прежней, интерпретацию касательного пространства

Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал обладает следующим свойством:

Это закон дифференцирования произведения.

В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а кольца А, удовлетворяющее, соотношению называют дифференцированием (точнее, дифференцирование кольца А). Таким образом, функционал является дифференцированием кольца Но еще и линеен относительно линейной структуры пространства

Можно проверить, что всякий линейный функционал обладающий свойствами

имеет вид где Таким образом, касательное пространство к в точке можно трактовать как линейное пространство функционалов (дифференцирований) на удовлетворяющих условиям (8), (9).

Базисным векторам пространства отвечают функционалы вычисления соответствующей частной производной от функции в точке Таким образом, при функциональной интерпретации пространства можно сказать, что функционалы образуют базис

Если то соответствующий вектору оператор имеет вид

Совершенно аналогично касательный вектор к -мерному многообразию М класса в точке можно интерпретировать (или определить) как элемент пространства дифференцирований на обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотношении естественно, заменяется на и тем самым функционал I связывается именно с точкой . Такое определение касательного вектора и касательного пространства формально не требует привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвариантно. В координатах локальной карты оператор имеет вид Набор чисел естественно называется

координатами касательного вектора в координатах карты Координатные представления одного и того же функционала в картах в силу законов дифференцирования связаны соотношениями

которые, естественно, повторяют соотношения (4).