§ 3. Край поверхности и его ориентация

1. Поверхность с краем.

Пусть — евклидово пространство размерности k, наделенное декартовыми координатами . Рассмотрим полупространство пространства . Гиперплоскость будем называть краем полупространства .

Заметим, что множество т. е. открытая часть , является простейшей -мерной поверхностью. Само же полупространство формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду наличия в точек края Множестве является каноническим представителем поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем.

Определение 1. Множество называют поверхностью (размерностью с краем, если любая точка имеет окрестность в , гомеоморфную либо либо .

Определение 2. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме точке соответствует точка то х называется точкой края поверхности (с краем) 5 и своей окрестности Совокупность всех точек края называется краем поверхности

Край поверхности как правило, будет обознаяаться символом

Напомним, что при гомеоморфном отображении области на область внутренние точки области переходят во. внутренние точки образа (это — теорема Брауэра). Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора локальной карты, т. е. определено корректно.

Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности, описанный в определении 1, § 1. Сопоставляя эти определения, видим, что если на нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему определению поверхности, которое теперь можно было бы считать определением поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин «поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек края непусто.

Понятие гладкой (класса поверхности с краем вводится, как и для поверхностей без края, требованием, чтобы обладала атласом карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для карт вида частные производные от в точках края вычисляются только по области определения отображения е. иногда это односторонние производные, а якобиан отображения отличенот нуля всюду в .

Поскольку можно диффеоморфизмом класса преобразовать в куб причем так, что преобразуется в часть куба определяемую дополнительным условием то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае ее гладкости) можно было бы

заменить на на или на куб с одной присоединенной гранью являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей размерности.

С учетом этой всегда "присутствующей свободы в выборе канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и определение 1 из § 1 видим, что справедливо следующее

Утверждение 1. Край -мерной поверхности класса сам является поверхностью того же класса гладкости, причем поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с размерностью исходной поверхности с краем.

Действительно, если атлас поверхности с краем, то очевидно, является атласом того же класса гладкости для края

Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем.

Рис. 77

Пример 1. Замкнутый -мерный шар в есть -мерная поверхность с краем. Ее край есть -мерная сфера (см. рис. 76 и рис. 77, а). Шар называемый часто по аналогии с двумерным случаем -мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину -мерной сферы, краем которой является экваториальная -мерная сфера (рис.

Рис. 78.

Пример 2. Замкнутый куб Р в по лучам, исходящим из его центра, можно гомеоморфно преобразовать в замкнутый шар Следовательно, как и есть -мерная поверхность с краем, который в данном случае образован гранями куба (рис. 78).

Отметим, что на ребрах, являющихся пересечениями граней, никакое отображение куба на шар, очевидно, не мржет быть регулярным (т. е. гладким и ранга

Пример 3. Если лист Мёбиуса получать описанным в примере 5, § 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого прямоугольника, то, очевидно, в получится

поверхность с краем, причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной в

При другой возможной склейке этих же сторон получится цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей. Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71 к примеру 5, § 1).

Рис. 79.

Рис. 80.

Рис. 81.

Как видно, край поверхности может оказаться несвязным, даже если сама поверхность была связной.