3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
Важный класс нормированных пространств составляют пространства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением евклидовых пространств.
Напомним
Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплексных чисел) пространстве X задана эрмитова форма, если задано отображение 
обладающее свойствами:
где 
— векторы из 
Из а), b), с) следует, например, что
Эрмитова форма называется положительной, если
и невырожденной, если
Если X — линейное пространство над полем вещественных чисел, то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму 
. В этом случае вместо а) можно записать просто 
что означает симметричность формы относительно векторов-аргументов 
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова пространства. В связи с этой аналогией принято
Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в этом пространстве.
Пример 10. В 
скалярное произведение векторов 
можно определить, положив
а в 
- положив
Пример 11. В 
скалярное произведение векторов 
можно определить, полагая
Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку
Пример 12. В 
скалярное произведение можно определить формулой
Из свойств интеграла легко следует, что все требования К скалярному произведению в этом 
выполнены.
Для скалярного произведения справедливо следующее важное неравенство Коши — Буняковского:
Действительно, пусть 
По условию 
. Если 
то из
при 
— получим
или
что совпадает с (16).
Аналогично рассматривается случай 
Если же 
то подставляя в 
получим 
и неравенство (16) опять справедливо.
Линейное пространство со скалярным произведением обладает естественной нормой
и метрикой
Используя неравенство Коши—Буняковского, проверим, что если 
— невырожденная положительная эрмитова форма, то формула (18) действительно определяет норму.
В самом деле,
поскольку форма 
невырожденная.
Далее
Проверим, наконец, неравенство треугольника
Нам, таким образом, следует показать, что
или после возведения в квадрат и упрощений, что
Но
и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из неравенства Коши — Буняковского (16).
Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является 
или 
соответственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.
Задачи и упражнения
(см. скан)
