4. Частные производные отображения.
Пусть 
— окрестность точки 
в прямом произведении нормированных
пространств 
и пусть 
отображение 
нормированное пространство 
. В этом случае
и значит, фиксировав в (13) все переменные, кроме одной переменной 
положив 
мы получим функцию
определенную в некоторой окрестности 
точки 
-пространства 
Определение 3. Отображение 
по отношению к исходному отображению (13) называют частным отображением по переменной 
в точке а 
.
Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в точке 
то его производная в этой точке называется частной производной или частным дифференциалом отображения 
точке а по переменной 
Эту частную производную обозначают обычно одним из символов
В соответствии с этими определениями 
точнее, 
Дифференциал 
отображения (13) в точке а (если 
дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифференциалов по отдельным переменным.
Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественнозначных функций 
вещественных переменных, поэтому мы не будем здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние рассуждения, с учетом разобранного в § 2 примера 9, легко доказать, что и в общем случае справедливо следующее
Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в точке 
то оно имеет в этой точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением
где 
На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифференцируемости функции (13).
