3. Теорема Стоуна.

Прежде чем переходйть к общей теореме Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае вещественнозначных функций.

Заметим сначала, что если и функции допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию многочленами, то ее допускают и непрерывные на функции

На отрезке как было показано в примере 2, § 3, функция допускает равномерное приближение полиномами . Значит, соответствующая последовательность полиномов дает равномерную аппроксимацию функции уже на отрезке

Если при следует при . Значит, если допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке то и 1/1 тоже допускают такую аппроксимацию.

Наконец, если допускают равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке то в силу сказанного ее допускают и функции

Пусть

Линейные комбинации функций вида очевидно, порождают все множество непрерывных кусочно линейных функций на отрезке откуда в силу примера 5 и следует теорема Вейерштрасса.

Прежде чем формулировать теорему Стоуна определим несколько новых понятий.

Определение 3. Совокупность вещественно (-значных функций на множестве X называется вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из следует, что

Пример 6. Пусть Многочлены очевидно, образуют комплексную алгебру функций на X.

Если взять и многочлены брать только с действительными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на отрезке

Пример 7. Линейные комбинации с коэффициентами из или 0 функций , очевидно, тоже образуют алгебру (соответственно вещественную или комплексную) на любом отрезке

То же можно сказать и о линейных комбинациях функций

Определение 4. Будем говорить, что некоторая совокупность функций, определенных на множестве X, разделяет точки множества X, если для любой пары точек найдется функция такая, что

Пример -Совокупность функций и даже каждая из них разделяет точки

Вместе с тем совокупность -периодических функций разделяет точки отрезка, если его длина меньше и, очевидно, не разделяет точки отрезка длины, большей или равной

Пример 9. Вещественные многочлены в совокупности образуют множество функций, разделяющее точки любого отрезка так как это делает уже один многочлен Сказанное можно повторить относительно множества и совокупности комплексных полиномов на X. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять

Определение 5. Будем говорить, что семейство функций не исчезает на множестве X, если для любой точки найдется функция такая, что

Пример 10. Семейство на отрезке [0,1] не исчезает, а вот все функции семейства обращаются в нуль при

Лемма 2. Если алгебра А, вещественных (или комплексных) на множестве X функций не исчезает на X, то для любых различных точек и любых вещественных (или соответственно комплексных) чисел в А найдется такая функция что

Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда и когда

По условию в А найдется такая функция что

Если то уже функция будет удовлетворять первой паре условий: Если то и тогда первой паре условий будет удовлетворять функция очевидно, принадлежащая алгебре А.

Для того чтобы построить функцию из А, удовлетворяющую требованиям придется использовать то обстоятельство, что А не вырождается на

Если разделяющая точки функция такова, что , то в качестве можно взять при или если

Остается показать, что в А существует такая специальная разделяющая точки функция которая, наряду с условием удовлетворяет требованию

Пусть Очевидно, найдется такое число что Тогда функция и будет искомой.

Теорема 3 (Стоун). Пусть А — алгебра определенных на компакте непрерывных вещественнозначных функций. Если А разделяет точки компакта и не исчезает на то А является всюду плотным подмножеством пространства

Пусть А — замыкание в множества т. е. А состоит из тех непрерывных функций которые можно сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А. Теорема утверждает, что

Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса рассуждения, замечаем, что если то функции тоже принадлежат А. По индукции можно проверить, что вообще, если то тоже лежат в А.

Теперь покажем, что для любой функции любой точки и любого числа найдется такая функция что при любом

Чтобы в этом убедиться, для каждой точки возьмем в соответствии с леммой 2 функцию такую, что . В силу непрерывности на функций найдется такая открытая окрестность точки у, что при любом Из покрытия компакта открытыми множествами извлекаем конечное покрытие Тогда функция будет искомой.

Взяв теперь для каждой точки такую функцию заметим, что ввиду непрерывности функции найдется такая открытая окрестность точки , что при любом Поскольку — компакт, найдется его конечное покрытие такими окрестностями. Функция принадлежит алгебре А и по построению в любой точке удовлетворяет двойному неравенству

Но число было, выбрано произвольно, поэтому доказано, что любую функцию можно сколь угодно точно равномерно приблизить на функциями из алгебры А.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)