2. Координатная запись дифференциальной формы.
Останавимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности,
Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде
Таким образом, любую кососимметрическую форму
можно представить в виде линейной комбинации
-форм
являющихся внешним произведением, составленным из простейших
-форм
Пусть теперь в некоторой области
задана дифференциальная
-форма
и некоторая система криволинейных координат
. В каждой точке
фиксируем базис
пространства
составленный из единичных векторов координатных направлений. (Например, если
декартовы координаты в
то
есть просто репер
пространства
параллельно перенесенный из начала координат в точку
Тогда в каждой точке
на основании формул (4) и (6) получаем, что
или
Таким образом, любая дифференциальная
-форма является комбинацией простейших
-форм
составленных из дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная форма».
Коэффициенты
линейной комбинации (8), вообще говоря, зависят от точки х, т. е. это какие-то функции, определенные в области, где задана форма
В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала
а, как видно из равенств,
имеет также место разложение
которое в декартовых координатах выглядит особенно просто:
Далее, в
имеет место равенство
откуда следует, что
Аналогично, из разложения по строке определителя
порядка для формы
получаем следующее разложение:
где знак
стоит над дифференциалом, который следует опустить в указанном слагаемом.