2. Координатная запись дифференциальной формы.

Останавимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности,

что любая дифференциальная -форма в некотором смысле является линейной комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4).

Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных случаях и прежде) по повторяющимся свёрху и снизу индексам подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих индексов.

Пусть -линейная форма в Если в фиксирован базис то каждый вектор получает координатное представление этом базисе, а форма приобретает координатную запись

Числа вполне характеризуют форму если известно в каком базисе они получены. Эти числа, очевидно, симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма

В случае кососимметрической формы координатное представление (5) можно несколько преобразовать. Чтобы направление этого преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случай соотношения (5), когда — кососимметрическая -форма в Тогда для векторов где , получаем

где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравенствам.

Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы можно получить следующее представление:

Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде

Таким образом, любую кососимметрическую форму можно представить в виде линейной комбинации

-форм являющихся внешним произведением, составленным из простейших -форм

Пусть теперь в некоторой области задана дифференциальная -форма и некоторая система криволинейных координат . В каждой точке фиксируем базис пространства составленный из единичных векторов координатных направлений. (Например, если декартовы координаты в то есть просто репер пространства параллельно перенесенный из начала координат в точку Тогда в каждой точке на основании формул (4) и (6) получаем, что

или

Таким образом, любая дифференциальная -форма является комбинацией простейших -форм составленных из дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная форма».

Коэффициенты линейной комбинации (8), вообще говоря, зависят от точки х, т. е. это какие-то функции, определенные в области, где задана форма

В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала

а, как видно из равенств,

имеет также место разложение

которое в декартовых координатах выглядит особенно просто:

Далее, в имеет место равенство

откуда следует, что

Аналогично, из разложения по строке определителя порядка для формы получаем следующее разложение:

где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в указанном слагаемом.