4. Общая формула Стокса.

При всем внешнем различии формул (1), (6), (10) их бескоординатная запись (1), (5), (6), (10) оказывается просто идентичной. Это дает основание считать, что мы имели дело с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь легко угадать.

Утверждение 4. Пусть — ориентированная кусочно гладкая -мерная компактная поверхность с краем лежащая в области в которой задана гладкая -форма .

Тогда имеет место соотношение

в котором ориентация края берется согласованной с ориентацией поверхности

Формула (11), очевидно, доказывается теми же общими выкладками (4), (5), что и формула Стокса (10), если только она справедлива для стандартного -мерного промежутка

Проверим, что для формула (11) действительно имеет место.

Поскольку на -форма имеет вид (суммирование по с выпусканием дифференциала то (11) достаточно доказать для каждого слагаемого в отдельности Пусть Тогда Теперь проведем выкладку:

Здесь такой же, только -мерный куб в как и куб кроме того, мы здесь сделали замену переменных

Отображения

суть параметризации соответственно верхней и нижней граней куба ортогональных оси Эти координаты на обеих гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер ем, отличающийся от репера пространства отсутствием вектора Вектор на грани является внешней по отношению к нормалью, как и вектор для грани IV Репер переходит в репер пространства после перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа Таким образом, указанная параметризация задает на ориентацию, которая превращается в ориентацию Г, согласованную с ориентацией если ее взять с поправочным коэффициентом (т. е. не менять при нечетном и менять при четном ).

Аналогичные рассуждения показывают, что для грани придется взять поправочный коэффициент к ориентации, заданной предъявленной параметризацией грани

Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы от формы о» по граням куба взятым с ориентацией, индуцированной на них ориентацией куба

Теперь заметим, что остальная часть Г границы куба есть цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси поэтому сужение на нее формы есть -форма, тождественно равная нулю на Г. Действительно, ведь Г имеет параметризацию вида поэтому после взятия дифференциалов их внешнее произведение окажется произведением форм от переменных что тождественно равно нулю

Значит, сумму последних интегралов можно интерпретировать как интеграл от формы о», взятый по краю куба ориентированному согласованно с ориентацией самого куба

Формула

а вместе с ней и формула (11) доказаны.

Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона—Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и серии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности, ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и перенос.

Формулы (1), (6), (10) Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если заданную на отрезке функцию интерпретировать как -форму о», интегралом по точке от -формы считать значение функции в этой точке, то саму формулу Ньютона — Лейбница тоже можно рассматривать как простейший (но независимый) вариант формулы (11).

Формулу (11) обычно называют обшей формулой Стокса. В качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из предисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы.

«Впервые формулировка теоремы появилась в виде приписки к письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу, датированному 2 июля Опубликована она была в качестве восьмого вопроса к экзаменам на смитовскую премию Этот конкурсный экзамен, которому ежегодно подвергались лучшие студенты — математики Кембриджского университета, с 1849 по проводился профессором Стоксом Ко времени его смерти результат был повсеместно известен как теорема Стокса Современниками Стокса были даны по крайней мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме» С тех пор именем Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о ценности обобщений».

Отметим, что язык форм и вид (11) общей формулы Стокса для поверхностей в по-видимому, впервые предложил Пуанкаре Для областей -мерного пространства формулу знал уже Остроградский.

Таким образом, общую формулу Стокса (11) не случайно порой называют формулой Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса—Остроградского—Стокса—Пуанкаре Из сказанного можно заключить, что это еще далеко не полное ее название.

Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, получен в примере 1.

Пример 5. Покажем что любое гладкое отображение замкнутого шара в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку

Если бы отображение не имело неподвижных точек, то, как и в примере 1, можно было бы построить гладкое отображение тождественное на сфере . В области рассмотрим векторное поле где — радиус-вектор точки и отвечающую этому полю форму потока

(см формулу (8) из § 2). Поток такого поля через границу шара в сторону внешней нормали к сфере очевидно, равен площади сферы Но, как легко проверить прямой выкладкой, откуда с использованием общей формулы Стокса, как и в примере 1, следует, что

Полученное противоречие завершает доказательство.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)