4. Случай простейшего диффеоморфизма в R^n.

Пусть — диффеоморфизм области на область — координаты точек соответственно. Напомним

Определение 2. Диффеоморфизм называется простейшим, если его координатная запись имеет вид

Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только одна из координат (в данном случае координата с индексом

Лемма 3. Для простейшего диффеоморфизма формула (3) верна.

С точностью до перенумерации координат можно считать, что рассматривается диффеоморфизм меняющий только координату.

Введем для удобства записи следующие обозначения:

Таким образом, — это просто одномерные сечения множеств соответственно прямыми, параллельными координатной оси. Пусть — промежуток в содержащий Представим в виде прямого произведения -мерного промежутка и отрезка координатной оси. Аналогичное разложение запишем для фиксированного в промежутка содержащего

Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и замечание 2, можно написать, что

В этой выкладке мы учли также то обстоятельство, что для рассматриваемого диффеоморфизма