3. Степенные асимптотические ряды.

Остановимся в заключение на степенных асимптотических разложениях, которые встречаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как это было в примере 8.

Мы будем рассматривать разложения по последовательности асимптотической при и по последовательности асимптотической при . Поскольку с точностью до замены это один и тот же объект, мы сформулируем очередное утверждение только для разложений по первой последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых формулировок в случае разложений по второй последовательности.

Утверждение 4. Пусть 0 — предельная точка множества Е, и пусть

Тогда при

если то где коэффициенты находятся из рекуррентных соотношений

если — проколотая окрестность или полуокрестность точки непрерывна на Е, то

если в дополнение к условиям то

где

а) Это частный случай утверждения 2.

Используя свойства символа (см. гл. III, § 2, утверждение 4), получаем, что

при

Если то при х - близких к нулю, поэтому можно рассматривать отношение Проверим, что если в представлении коэффициенты выбраны в соответствии с утверждением с), то при Еэх-О. Из тождества получаем, что

откуда следует, что или при поскольку

Это вытекает из утверждения если положить там и вспомнить, что Поскольку функция непрерывна на и ограничена (стремится к при то интеграл существует. Очевидно, так как при Подставляя в это равенство асимптотическое разложение и пользуясь доказанным в получаем, что

Из единственности асимптотического разложения (утверждение 1) следуют теперь соотношения

Следствие 1. Если — окрестность (полуокрестность) бесконечности в а функция непрерывна в и имеет асимптотическое

разложение

то взятый по лежащему в промежутку интеграл

сходится и имеет следующее асимптотическое разложение:

Сходимость интеграла очевидна, поскольку

Остается, ссылаясь, например, на утверждение проинтегрировать асимптотическое разложение

Следствие 2. Если в дополнение к условиям следствия 1 известно, что допускает асимптотическое разложение

то это разложение можно получить формальным дифференцированием разложения функции причем

Поскольку при то

при и так как а последовательность асимптотическая при утверждение 1 позволяет заключить, что Теперь, интегрируя разложение в силу следствия 1 получаем разложение функции и на основании единственности разложения приходим к соотношениям при

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)