2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.

а. Непрерывно дифференцируемые отображения.

Пусть

— отображение открытого подмножества V нормированного пространства X в нормированное пространство Если дифференцируемо в каждой точке то, сопоставляя точке х отображение касательное к в этой точке, мы получаем производное отображение

Поскольку пространство линейных непрерывных операторов из X в является, как нам известно, нормированным (нормой оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности отображения (9).

Определение. В том случае, когда производное отображение (9) непрерывно в отображение (8), в полном соответствии с прежней терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемым.

Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа (8) будем по-прежнему обозначать символом или, короче, , если из контекста ясно куда идет отображение.

Итак, по определению

Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость отображения в различных конкретных случаях.

Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда и, таким образом есть вещественнозначная функция вещественного аргумента. Поскольку любое линейное

отображение к умножению на некоторое число причем, очевидно, то в любой точке для любого вектора получаем, что где а числовая производная функции в точке х.

Далее, так как

то

и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения в данном случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно дифференцируемой числовой функции (класса

2. Пусть на сей раз X есть прямое произведение нормированных пространств. Отображение. (8) в этом случае есть функция от переменных со значениями в пространстве

Если отображение дифференцируемо в точке то его дифференциал в этой точке есть элемент пространства

Действие на вектор согласно формуле (15) из § 3, представляется в виде

где суть частные производные отображения в рассматриваемой точке х.

Далее,

Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении нормированных пространств (см. § 1, п. 2, пример 6) и определения нормы оператора получаем, что

Таким образом, дифференцируемое отображение (8) в данном случае непрерывно дифференцируемо в если и только если все его частные производные отображения непрерывны в

В частности, если мы вновь получаем уже знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции

действительных переменных (функции класса где

Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (10) и (И) мы существенно пользовались каноническим отождествлением позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в различных касательных пространствах.

Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отображений имеет место

Утверждение 1. Если — выпуклый компакт в нормированном пространстве X, и где — тоже нормированное пространство, то отображение удовлетворяет условию Липшица на т. е. существует постоянная такая, что для любых точек выполнено неравенство

По условию есть непрерывное отображение компакта в метрическое пространство Поскольку норма есть непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его естественной метрикой, то отображение как композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение компакта в Но такое отображение обязано быть ограниченным. Пусть М такая постоянная, что в любой точке имеет место неравенство . Ввиду выпуклости вместе с любыми двумя точками компакт содержит и весь отрезок Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедленно получаем соотношение (13).

Утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая неотрицательная стремящаяся к нулю при функция а что имеет место соотношение

справедливое любой точке при если

В силу следствия теоремы о конечном приращении можно записать, что

и, полагая

получаем (14) ввиду равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте

Достаточное условие дифференцируемости. Покажем теперь как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно

в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости отображений в терминах частных производных.

Теорема 2. Пусть — окрестность точки к нормированного пространства являющегося прямым произведением нормированных пространств и пусть — отображение в нормированное пространство Если в отображение имеет все частные производные отображения, то при условии их непрерывности в точке х отображение дифференцируемо в этой точке.

Для упрощения записи проведем доказательство в случае Проверим непосредственно, что линейное относительно отображение

является полным дифференциалом в точке х.

Сделав элементарные преобразования

по следствию из теоремы 1 получаем

Поскольку то из непрерывности частных производных в точке очевидно, следует, что правая часть неравенства (15) есть при

Следствие. Отображение открытого подмножества нормированного пространства в нор мированное пространство непрерывно дифференцируемо тогда а только тогда, когда в непрерывны все частные производные отображения

В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости отображения его непрерывная дифференцируемость равносильна непрерывности его частных производных.

Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны, то отображение автоматически дифференцируемо, а следовательно (на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)