§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному

1. Теорема Фубини.

До сих пор мы говорили об определении интеграла, условиях его существования и его общих свойствах. Здесь будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене переменных является инструментом для вычисления кратных интегралов.

Теорема. Пусть промежуток в являющийся прямым произведением промежутков Если функция интегрируема на то интегралы

существуют одновременно и равны между собой

Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл входящих в ее формулировку символов.

Интеграл — это записанный в переменных знакомый нам интеграл от функции по промежутку

Символ следует, понимать следующим образом: при фиксированном значении вычисляется интеграл по промежутку а затем полученная функция интегрируется на промежутке X. При этом, если для некоторого интеграл не существует, то полагается равным любому числу между и не исключая и самих значений нижнего и верхнего интегралов. Будет показано, что тогда

Аналогичный смысл имеет символ

В процессе доказательства терремы выяснится, что совокупность тех значений для которых является множеством -мерной меры нуль в X.

Аналогично и совокупность тех при которых интеграл может не существовать, окажется множеством -мерной меры нуль в

Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по -мерному промежутку который мы в свое время условились называть кратным интегралом, последовательно вычисляемые интегралы от функции по затем по X, или по X,

а затем по принято называть повторными интегралами от этой функции.

Если X и Y — отрезки прямой, то сформулированная теорема в принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку к последовательному вычислению двух одномерных интегралов. Ясно, что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление интеграла по -мерному промежутку к последовательному вычислению одномерных интегралов.

Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в следующем. Рассмотрим интегральную сумму отвечающую разбиению промежутка на промежутки Поскольку интеграл от по промежутку существует, то отмеченные точки можно выбирать по своему усмотрению, и мы их выбрали как «прямое произведение» выборов Тогда можно записать, что

а это и есть допредельный вид нашей теоремы.

Дадим теперь ее формальное доказательство.

Любое разбиение Р промежутка индуцируется соответствующими разбиениями промежутков X и При этом каждый промежуток разбиения Р есть прямое произведение некоторых промежутков разбиений соответственно. По свойствам объема промежутка где каждый из объемов вычисляется в том пространстве которому принадлежит рассматриваемый промежуток.

Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь следующие оценки:

Поскольку то при оба крайних члена этих неравенств стремятся к значению интеграла от функции по промежутку Это обстоятельство позволяет из написанных оценок заключить, что и что имеет место равенство

Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования по Y, а затем по X. Ясно, что аналогичные рассуждения можно провести и в случае, когда сначала идет интегрирование по X, а затем по Y.