2. Площадь поверхности как интеграл от формы.

Сопоставляя определение 1 § 1 интеграла от формы с конструкцией, которая привела нас к определению площади поверхности (§ 4 гл. XII), видим, что площадь заданной в параметрическое виде гладкой -мерной поверхности лежащей в евклидовом пространстве является интегралом от некоторой формы которую мы пока только условно будем называть формой объема или элементом объема на поверхности Из соотношения (5) § I гл. XII следует, что в криволинейных координатах (т. е. будучи снесена в область форма (точнее имеет вид

где

При друюй параметризации той же поверхности для вычисления площади 5 по области надо соответственно интегрировать форму

где

Обозначим через диффеоморфизм осуществляющий переход от координат к координатам поверхности . В свое время мы уже подсчитали (см. Замечание 5 § 4 гл XII), что

Вместе с тем очевидно, что

Сопоставляя равенства видим, что если и, если Если формы получались переносом соответственно из одной и той же формы на то всегда должно быть выполнено равенство или, что то же самое,

Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на параметризованной поверхности которые надо интегрировать, чтобы получить площадь этой поверхности, различны — отличаются знаком, если параметризации задают на различные ориентации; эти формы совпадают для параметризаций, принадлежащих одному классу ориентации поверхности

Таким образом, форма объема на должна определяться не только самой поверхностью лежащей в евклидовом пространстве но и ориентацией

Это может показаться парадоксальным: площадь поверхности по нашим представлениям не должна зависеть от ориентации

Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной поверхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации поверхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориентациях поверхности мы должны интегрировать разные формы.

Доведем высказанные соображения до точных определений.