с) если
то
Используя принцип локализации и делая замену переменной
указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2, о редукции к следующим соотношениям:
Функция
при сформулированных выше требованиях удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона (формула (14) при
и вспомнить выражения для
указанные в лемме 3.
Итак, мы обосновали формулы.
Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы.
Пример 7. Асимптотика гамма-функции. Функцию
можно представить в виде интеграла Лапласа
и если при
сделать замену переменной
то придем к интегралу
который можно исследовать средствами доказанной теоремы.
Функция
имеет единственную точку максимума
на промежутке
причем
На основании принципа локализации (утверждение 1) и утверждения
теоремы 1 заключаем, что