4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа.

Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть в интеграле (1) отрезок интегрирования конечный, достигается только в одной точке

Пусть также известно, что при а функция принадлежит классу гладкости в окрестности точки

Тогда:

с) если то

Используя принцип локализации и делая замену переменной указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2, о редукции к следующим соотношениям:

Функция при сформулированных выше требованиях удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона (формула (14) при и вспомнить выражения для указанные в лемме 3.

Итак, мы обосновали формулы.

Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы.

Пример 7. Асимптотика гамма-функции. Функцию

можно представить в виде интеграла Лапласа

и если при сделать замену переменной то придем к интегралу

который можно исследовать средствами доказанной теоремы.

Функция имеет единственную точку максимума на промежутке причем На основании принципа локализации (утверждение 1) и утверждения теоремы 1 заключаем, что

В частности, вспоминая, что при получаем классическую формулу Стирлинга

Пример 8. Асимптотика функции Бесселя

где Здесь поэтому на основе утверждения с) теоремы 1

Пример 9. Пусть причем на достигается только в одной точке . Если , то, переписав интеграл

в форме интеграла Лапласа

на основании утверждений и с) теоремы 1 получаем, что при

где если если или

Пример 10. Асимптотика полиномов Лежандра

при в области может быть получена как частный случай предыдущего примера, когда

Таким образом,