На каждый элемент
массы среды могут действовать некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так называемые массовые силы. Пусть
— плотность создаваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей на элемент массы
действует сила
Если указанный элемент в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, равной
Наконец, на каждый элемент
поверхности
со стороны частиц среды, соседних с попавшими в
действует поверхностная сила —
вызванная давлением (здесь
— внешняя нормаль к
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются, т. е. их равнодействующая должна быть равна нулю. В нашем случае это означает, что
Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверхность
ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или газом, в которых давление на площадку
имеет вид
где чило
не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу (10) из § 2, на основании равенства (11) получаем
откуда юиду произвольности области
очевидно, следует, что
В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.
Ускорение а частицы среды есть производная от скорости
этой частицы. Если
— закон движения частицы в пространстве, a
— поле скоростей среды,
для любой индивидуальной частицы получаем
или
Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую форму:
или
Уравнение (14) обычно называется гидродинамическим уравнением Эйлера.
Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скалярных уравнений на три компоненты вектора
и еще на пару функций
.
Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопределена.
Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14) следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии среды (например, уравнение состояния
и уравнение на теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения, читатель получит из следующего заключительного пункта этого параграфа.