3. Основные уравнения динамики сплошной среды.

Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями , которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной точке пространства в момент времени рассмотрим давление как функцию точки пространства и времени.

Выделим в пространстве, занятом средой, область ограниченную поверхностью и рассмотрим силы, действующие на выделенный объем среды в фиксированный момент времени.

На каждый элемент массы среды могут действовать некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так называемые массовые силы. Пусть — плотность создаваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей на элемент массы действует сила Если указанный элемент в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, равной

Наконец, на каждый элемент поверхности со стороны частиц среды, соседних с попавшими в действует поверхностная сила — вызванная давлением (здесь — внешняя нормаль к

По принципу Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются, т. е. их равнодействующая должна быть равна нулю. В нашем случае это означает, что

Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверхность ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или газом, в которых давление на площадку имеет вид где чило не зависит от ориентации площадки в пространстве.

Применяя формулу (10) из § 2, на основании равенства (11) получаем

откуда юиду произвольности области очевидно, следует, что

В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.

Ускорение а частицы среды есть производная от скорости этой частицы. Если — закон движения частицы в пространстве, a — поле скоростей среды, для любой индивидуальной частицы получаем

или

Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую форму:

или

Уравнение (14) обычно называется гидродинамическим уравнением Эйлера.

Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скалярных уравнений на три компоненты вектора и еще на пару функций .

Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопределена.

Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14) следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии среды (например, уравнение состояния и уравнение на теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения, читатель получит из следующего заключительного пункта этого параграфа.