2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.

Утверждение 1. Пусть — прямоугольник в плоскости Если функция непрерывна, т. е. если то функция

непрерывна в любой точке

Из равномерной непрерывности функции на компакте Р вытекает, что на при . При каждом функция непрерывна по х на отрезке а значит, и интегрируема на нем. По теореме о предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать, что

Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве множества значений параметра у взять любой компакт конечно, при условии, что где

Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если где — открытое множество в то поскольку любая точка имеет компактную окрестность а сужение функции на является непрерывной функцией на компакте

Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных функций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для векторнозначных функций, например для функций, принимающих значения в 0 в или

Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть I) упоминали о следующем утверждении, называемом леммой Адамара.

Если функция в окрестности точки принадлежит классу то в некоторой окрестности точки ее можно представить в виде

— функция, непрерывная в причем

Равенство (3) легко следует из формулы

Ньютона — Лейбница и утверждения 1, применяемого к функции остается сделать замену и положить

Полезно заметить, что равенство (4) имеет место для где а не обязано быть только единицей. Раскрывая символ подробнее и полагая для простоты записи можно вместо (4) написать

и тогда в равенстве (3) следует положить

где