§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве

Перейдем теперь к определению площади -мерной кусочно гладкой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве

Напомним сначала, что если векторов евклидова пространства то объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством определителя

матрицы строки которой образованы координатами данных векторов в некотором ортонормированном базисе пространства Отметим, однако, что на самом-то деле формула (1) дает не просто объем, а так называемый ориентированный объем параллелепипеда. Если , то определяемое формулой (1) значение V положительно или отрицательно в соответствии с тем, принадлежат ли реперы одному или разным классам ориентации пространства

Заметим теперь, что произведение матрицы на ее транспонированную есть не что иное, как матрица попарных скалярных произведений данных векторов, т. е. иатрица Грама системы векторов Таким образом,

и, значит, неотрицательное значение объема можно получить в виде

Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет координат, а есть только набор геометрических величин, характеризующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если эти же векторы считать лежащими в -мерном евклидовом пространстве то формула (3) -мерного объема (или -мерной площади) натянутого на них параллелепипеда останется без изменений.

Рис. 82.

Пусть теперь -мерная гладкая поверхность в евклидовом пространстве заданная в параметрическом виде

т. е. ввиде гладкой вектор-функции определенной в области . Пусть — ортонормированный базис в порождающий координатную систему Фиксировав точку возьмем положительные числа столь малыми, чтобы параллелепипед 7, натянутый на векторы приложенные к точке лежал в области

На поверхности в силу отображения параллелепипеду соответствует фигура которую условно можно назвать криволинейным параллелепипедом (см. рис. 82, отвечающий

случаю Поскольку

смещению от на вектор отвечает в такое смещение от точки которое при можно с точностью до заменить частным дифференциалом — Таким образом, при малых значениях криволинейный параллелепипед мало отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы касательные к поверхности в точке

Считая по этой причине, что объем криволинейного параллелепипеда должен тогда быть близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим приближенную формулу

где положено

Если теперь все пространство в котором лежит область параметров стандартным образом заместить -мерными параллелепипедами малого диаметра взять среди них те, которые лежат в вычислить по формуле (4) приближенное значение -мерного объема их образов и взять сумму полученных так значений, то мы придем к величине

которую можно считать приближенным значением -мерного объема или площади рассматриваемой поверхности причем это приближение должно становиться более точным при

Таким образом, мы принимаем

Определение 1. Площадью (или -мерным объемом) заданной в параметрическом виде гладкой -мерной поверхности лежащей в евклидовом пространстве называется величина

Посмотрим, как выглядит формула (5) в уже знакомых нам частных случаях.

При область есть промежуток с некоторыми концами на прямой в этом случае — кривая в . Формула (5), таким образом, при превращается в формулу

для вычисления длины гладкой кривой.

Если то — диффеоморфная области -мерная область в . В этом случае матрица Якоби отображения квадратная. Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в кратном интеграле, можно написать, что

т. e., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области 5 в

Отметим, что при т. е. когда — двумерная поверхность в часто вместо стандартных обозначений используют следующие; а вместо пишут соответственно и, этих обозначениях формула (5) приобретает вид

В частности, если а поверхность есть график гладкой вещественнозначной функции определенной в области то, как легко подсчитать,

Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полезных для дальнейшего замечаний.

Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует, например, если — измеримая по Жордану область,

Замечание 2. Если поверхность участвующую в определении 1, разбить на конечное число поверхностей кусочно гладкими краями, то этому разбиению будет отвечать такое же разбиение области на соответствующие области Если поверхность имела площадь в смысле равенства (5), то при каждом значении определены величины

В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что

Мы установили таким образом, что площадь -мерной поверхности аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл.

Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если нужно, к исчерпанию области а значит, оно позволяет расширить смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как несобственный.

Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно использовать для определения площади произвольной (а не только заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности.

Определение 2. Пусть — произвольная кусочно гладкая -мерная поверхность в Если после удаления из 5 конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем она распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых поверхностей то полагаем

Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так определенная величина не зависит от способа описанного разбиения поверхности на гладкие куски каждый из которых лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности

Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение на гладкие параметризуемые куски всегда возможно и даже с соблюдением естественного дополнительного требование локальной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхностей Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что любая точка поверхности должна обладать окрестностью, которая пересекается не более чем с конечным числом множеств

Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система криволинейных координат Естественно поэтому проверить, что определяемая равенством (5) величина (а тем самым и величина из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе к новым криволинейным координатам меняющимся в соответствующей области

Для проверки достаточно заметить, что матрицы

в соответствующих друг другу точках областей связаны соотношением где матрица Якоби отображения транспонированная по отношению к

матрица. Таким образом, откуда следует, что

Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы координат определение 2 -мерного объема или площади -мерной кусочно гладкой поверхности.

Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем

Определение 3. Про множество Е, лежащее на -мерной кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множеством -мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега, если при любом его можно покрыть конечной или счетной системой (возможно пересекающихся) поверхностей так, что

Как видно, это дословное повторение определения множества меры нуль, лежащего в

Легко видеть, что в области параметров любой локальной карты кусочно гладкой поверхности такому множеству Е отвечает множество k-мерной меры нуль. Можно даже проверить, что это характеристическое свойство множеств площади нуль.

На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно гладкая поверхность получена из кусочно гладкой поверхности удалением, из множества Е площади нуль, то площади поверхностей одинаковы.

Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности часто можно так удалить множество площади нуль, что в результате получится гладкая поверхность задаваемая всего лишь одной картой. Но тогда площадь 5, а значит, и площадь можно вычислить прямо по формуле (5).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Отображение есть карта дуги окружности получаемой удалением из этой окружности единственной точки Поскольку Е — множество длины нуль на можно писать, что

Пример 2. В примере 4 § 1 было указано следующее параметрическое представление двумерного тора в

В области отображение диффеоморфно. Образ области при этом диффеоморфизме отличается от тора на множество , состоящее из координатной линии и линии Множество Е состоит, таким образом, из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, имеет площадь нуль. Значит, площадь тора можно найти по формуле (5), исходя из приведенного параметрического представления, рассматриваемого в пределах области

Проведем необходимые выкладки:

Следовательно,

Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кривых и поверхностей.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)