§ 3. Функциональные свойства предельной функции

1. Конкретизация задачи.

В этом параграфе будут даны ответы на поставленные в § 1 вопросы о том, когда предел семейства непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций

является функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных или интегралов от функций семейства совпадает с производной или интегралом от предельной функции этого семейства.

Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного перехода.

Пусть на при и пусть все функции последовательности непрерывны в точке Мы интересуемся непрерывностью предельной функции в той же точке Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить равенство которое в терминах исходной последовательности переписывается в виде соотношения или, с учетом данной нам непрерывности функций в точке записывается в форме следующего подлежащего проверке соотношения:

В левой части этого соотношения сначала делается предельный переход по базе а затем предельный переход по базе а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в другом порядке.

Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равенство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел последовательности непрерывных функций не всегда является функцией непрерывной.

Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том, получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по параметру семейства или сначала найдем предельную функцию семейства, а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.