2. Дифференциальная форма на многообразии.

Рассмотрим теперь пространство сопряженное к касательному пространству то есть есть пространство линейных вещественнозначных функционалов на

Определение 3. Пространство сопряженное пространству касательному к многообразию М в точке называется кокасательным пространством к многообразию М в точке .

Если многообразие М — класса отвечающее вектору дифференцирование, то при фиксированной функции отображение очевидно, будет элементом пространства . В случае получается поэтому построенное отображение естественно, называется дифференциалом функции в точке и обозначается обычным символом

Если при — пространство, отвечающее в карте многообразия М касательному пространству то пространство , сопряженное к естественно считать изображением (представителем) пространства в этой локальной карте. В координатах локальной карты базису пространства или если Отвечает взаимный с ним базис в сопряженном пространстве. (Напомним, что поэтому Выражения этих взаимных базисов в другой карте могут оказаться не столь простыми, ибо

Определение 4. Говорят, что на гладком -мерном многообразии М задана дифференциальная форма степени если на каждом касательном к М пространстве , определена кососимметрическая форма

Практически это означает, всего-навсего, что в каждом пространстве отвечающем пространству в карте многообразия М, задана соответствующая -форма где . То, что две такие формы сор являются представителями одной и той же формы , выражается соотношением

в котором — представители точки представители векторов в картах соответственно.

В более формальной записи это означает, что

где, как обычно, являются соответственно функциями преобразования координат, а касательные к ним отображения осуществляют изоморфизм касательных к пространств в соответствующих точках Как было сказано в 1, п. 3, сопряженные отображения осуществляют этом перенос форм, и соотношение (10) в точности означает, что

где а и Р — равноценные индексы (которые можно поменять местами).

Матрица отображения известна: Таким образом, если

и

то в соответствии с формулой (30) из § 1 получаем, что

где как всегда, означает определитель матрицы из соответствующих частных производных.

Итак, различные координатные выражения одной и той же формы со получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием соответствующих дифференциалов координат и последующими алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего умножения).

Если условиться форму считать переносом заданной, на многообразии формы со в область параметров карты то естественно писать, что и считать, что где композиция в данном случае играет роль формальной детализации отображения

Определение 5. Дифференциальная -форма на -мерном многообразии М принадлежит классу гладкости если коэффициенты ее координатного представления

в любой карте атласа, задающего на М гладкую структуру, являются функциями соответствующего класса

Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само многообразие М имеет гладкость класса например, когда М есть многообразие класса

Для заданных на многообразии дифференциальных форм естественным образом (поточечно) определены операции сложения, умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функцию которая по определению считается формой степени нуль). Первые две из этих операций превращают множество форм класса на М в линейное . В случае это линейное пространство обычно обозначают символом Ясно, что внешнее произведение форм дает форму