§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода

1. Масса материальной поверхности.

Пусть — материальная поверхность в евклидовом пространстве Предположим, что нам известна (поверхностная) плотность распределения массы на поверхности Требуется определить массу всей поверхности

Для решения аадачи прежде всего надо учесть, что поверхностная плотность в точке есть предел отношения массы части поверхности, попавшей в окрестность точки х, к площади этой же части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х.

Разбив поверхность на мелкие доли и считая непрерывной функцией на можно, пренебрегая изменением

в пределах каждой малой доли, найти массу из соотношения

в котором — площадь поверхности

Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при измельчении разбиения, получим, что

Символ написанного здесь интеграла по поверхности очевидно, требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до вычислительных формул.

Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства (1) никак не зависит от ориентации поверхности и, значит, этим же свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Это на первый взгляд контрастирует с тем понятием интеграла по поверхности, о котором мы подробно говорили в § 1. Ответ на возникший вопрос кроется в определении элемента поверхности к анализу которого мы и переходим.