2. Норма оператора.

Определение 3. Пусть — полилинейный оператор, действующий прямого произведения нормированных пространств в нормированное пространство

Величина

где верхняя грань берется по всевозможным наборам отличных от нуля векторов пространств называется нормой полилинейного оператора А.

В правой части формулы (5) вместо знака нормы вектора употреблено обозначение рядом с которым стоит символ того нормированного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и, если не возникает недоразумений, будем опускать символ пространства, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда в том пространстве, которому вектор принадлежит. Мы хотим тем самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на нормированных векторных пространствах.

Пользуясь свойствами норму вектора и свойствами полилинейного оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом:

где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам единичных векторов пространств соответственно (т. е. ).

В частности, для линейного оператора из (5) и (6) получаем

Из определения 3 нормы полилинейного оператора А следует, что если то при любых векторах справедливо неравенство

В частности, для линейного оператора получаем

Кроме того, из определения 3 следует, что если норма полилинейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для которых неравенство

выполнено при любых значениях

Определение 4. Полилинейный оператор называется ограниченным, если существует такое число что при любых значениях из пространств соответственно справедливо неравенство (10).

Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы, которые имеют конечную норму.

На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл нормы линейного оператора в знакомом случае . В этом случае единичная сфера пространства переходит под действием преобразования А в некоторый эллипсоид в центр которого совпадает с нулем в Значит норма А в данном случае просто наибольшая из полуосей этого эллипсоида.

С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при данном отображении, что видно из первого равенства в (7).

Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных пространств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это, вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих примеров.

Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1-8.

Пример 1. Если считать, что — подпространство нормированного пространства в котором вектор имеет единичную норму, то, поскольку ясно, что .

Пример 2. Если , то причем если значит,

Заметим, что если на том же линейном пространстве ввести, например, интегральную норму

то результат вычисления может существенно измениться. Действительно, пусть Интегральная норма функции на отрезке [0, 1], очевидно, равна в то время как Отсюда следует, что в этом случае

Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство рассматривается с нормой, определяемой максимумом модуля функции на отрезке

Пример 3. Если то

Но при получаем поэтому Пример 4. Если то

Но при получаем

поэтому и в данном примере

Пример 5. Непосредственно из определения 3 в данном случае получаем, что .

Пример 6. В силу неравенства Коши — Буняковского

причем, если то это неравенство переходит в равенство. Следовательно,

Пример 7. Мы знаем, что

где — угол между векторами поэтому . В то же время, если векторы ортогональны, то Таким образом,

Пример 8. Если считать, что векторы берутся в евклидовом пространстве размерности то можно заметить, что

есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы и этот объем максимален, если векторы сохранив их длины, сделать взаимно ортогональными.

Таким образом,

причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит в рассматриваемом случае

Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах 9 — 11. Будем считать, что в прямом произведении нормированных пространств норма вектора введена в соответствии с принятым в § 1 (пример 6) соглашением.

Пример 9. Задание линейного оператора

как было показано, равносильно заданию линейных операторов определенных соотношениями . При этом имеет место формула в силу которой

Таким образом, показано, что

С другой стороны, поскольку

можно заключить, что при любом справедлива также оценка

Пример 10. С учетом введенной в нормы в этом случае сразу получаем двусторонние оценки

Пример 11. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно заключить, что