2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот критерий.

а. Множество меры нуль в R^n.

Определение 9. Говорят, что множество имеет (-мерную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для любого существует покрытие множества Е не более чем счетной системой -мерных промежутков, сумма объемов которых не превышает .

Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества меры нуль.

Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

c) Подмножество множества меры нуль само есть множество меры нупь.

d) Невырожденный промежуток не является множеством меры нуль.

Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее одномерного варианта, рассмотренного в § 1, гл. VI, поэтому мы на нем не останавливаемся.

Пример 1. Множество рациональных точек в (точек, все координаты которых рациональны) счетно и потому является множеством меры нуль.

Пример 2. Пусть — непрерывная вещественнозначная функция, определенная на -мерном промежутке Покажем, что ее график в есть множество -мерной меры нуль.

Поскольку функция равномерно непрерывна на I, то по найдем так, чтобы для любых точек при условии иметь Если теперь взять разбиение Р промежутка I с параметром то на каждом промежутке такого разбиения колебание функции будет меньше е. Значит, если — произвольная фиксированная точка промежутка то -мерный промежуток очевидно, содержит всю часть графика функции которая лежит над промежутком а объединение промежутков покрывает весь график функции над I. Но (здесь — объем — объем Таким образом, уменьшая действительно можно общий объем покрытия сделать сколь угодно близким к нулю.

Замечание 1. Сопоставляя утверждение леммы 2 с примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции или непрерывной функции где является множеством -мерной меры нуль в

Лемма 3. а) Класс множеств меры нуль не изменится от того, понимать ли в определении 9 покрытие множества Е системой промежутков в обычном смысле, т. е. считая или в более жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.

Компакт является множеством меры нуль в том и только в том случае, если для любого существует конечное покрытие промежутками, сумма объемов которых меньше .

а) Если — покрытие множества Е, т. е. причем то, взяв вместо каждого промежутка гомотеточный ему относительно его центра промежуток получим систему промежутков такую, что где — общий для всех промежутков коэффициент гомотетии. Если то, очевидно, система будет покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.

Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из любого открытого покрытия компакта . (В качестве такого покрытия может выступать система открытых промежутков, получаемая из рассмотренной в а) системы

b. Одно обобщение теоремы Кантора.

Напомним, что колебанием функции на множестве Е мы назвали величину со а колебанием функции в точке — величину где -окрестность точки х в множестве Е.

Лемма 4. Если в каждой точке компакта для функции имеет место соотношение то для любого найдется такое, что для любой точки будет выполнено неравенство .

При это утверждение превращается в теорему Кантора о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте. Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства теоремы Кантора § 2, гл. VI), поэтому мы на нем не задерживаемся.

c. Критерий Лебега.

Как и прежде, будем говорить, что некоторое свойство имеет место почти во всех точках множества М или выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство может нарушаться, имеет меру нуль.

Теорема 1 (критерий Лебега), ограничена на непрерывна почти всюду на

Необходимость. Если то по утверждению 1 функция ограничена на I. Пусть на I.

Проверим, что непрерывна почти во всех точках Для этого покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть множество меры нуль, то

Действительно, представив Е в виде где на основании леммы 2 заключаем, что если Е не имеет меру нуль, то найдется номер такой, что множество тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р — произвольное разбиение промежутка I на промежутки Разделим промежутки разбиения Р на две группы А и В, где

Система промежутков А образует покрытие множества . В самом деле, каждая точка лежит либо внутри некоторого промежутка и тогда, очевидно, , либо на границе некоторых промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства треугольника) не менее чем и он войдет в систему А.

Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять величину интегральной суммы.

Именно, выберем наборы точек , так, чтобы в промежутках системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежутках системы А точки выберем так, что Тогда

Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки системы А образуют покрытие множества которое по предположению не есть множество меры нуль.

Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка I, на основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы не могут иметь предел при т. е.

Достаточность. Пусть — произвольное положительное число, а По условию Ее есть множество меры нуль.

Кроме того, , очевидно, замкнуто в поэтому Ее — компакт.

По лемме 3 существует такая конечная система промежутков в что Положим а через обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков гомотетией с центром в центре и коэффициентом 2 и 3 соответственно. Ясно, что лежит

строго внутри и что расстояние между границами множеств положительно.

Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в и попарно не имеют общих внутренних точек, не больше чем где -размерность пространства Это следует из определения множества и свойств меры промежутка (лемма 1).

Отметим также, что любое подмножество промежутка диаметр которого меньше либо содержится в множестве либо лежит в компакте где — граница (и, следовательно, — совокупность внутренних точек множества

По построению поэтому в любой точке должно быть . По лемме 4 найдется число такое, что для любой пары точек удаленных друг от друга не больше чем на имеет место неравенство .

Сделанные построения позволяют теперь следующим образом провести доказательство достаточности условии интегрируемости. Берем любые два разбиения промежутка 1 с параметрами меньшими, чем Пусть Р — разбиение, полученное пересечением промежутков разбиений т. е. в естественных обозначениях Сравним интегральные суммы Учитывая, что можно записать:

Здесь в первую сумму вошли те промежутки разбиения Р, которые лежат в промежутках разбиения Р, содержащихся в множестве а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме т. е. все они обязательно содержатся в (ведь ).

Поскольку на заменяя в первой сумме величиной заключаем, что первая сумма не превосходит .

Учитывая, что во второй сумме заключаем, что и, следовательно, вторая сумма не превосходит

Таким образом, откуда (ввиду равноправности Р и используя неравенство треугольника, получаем, что

для любых разбиений с достаточно малыми параметрами.

В силу критерия Коши теперь заключаем, что

Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве, то критерий Лебега, как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве.