5. Векторные операции в криволинейных координатах.

а. Подобно тому, как, например, сфера имеет особенно простое уравнение в сферических координатах, векторные поля часто приобретают наиболее простую запись в системе координат, отличной от декартовой. Поэтому мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы находить в достаточно широком классе криволинейных координат.

Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной записью поля А в той или иной системе криволинейных координат.

Начнем с двух наводящих примеров описательного характера.

Пример 3. Пусть на евклидовой плоскости фиксированы декартовы координаты Когда мы говорим, что в задано векторное поле то мы имеем в виду, что с каждой точкой связан некоторый вектор который в базисе пространства состоящем из ортов координатных направлений, имеет разложение (рис. 91).

В данном случае базис пространства существу, не зависит от точки х.

Рис. 91.

Рис. 92

Пример 4. В случае, когда в той же плоскости задается полярная система координат с каждой точкой тоже можно связать орты (рис. 92) координатных направлений. Они тоже образуют базис в по которому можно разложить связанный с точкой х вектор поля Тогда упорядоченную

пару функций естественно считать записью поля А в полярной системе координат.

Так, если , то это поле единичных векторов в идущих в радиальном направлении сторону от центра 0.

Иоле получается из предыдущего поля поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол

Это не постоянные поля в хотя компоненты их координатного представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки к точке.

Ясно, что компоненты координатного представления этих по лей в декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело бы переменные компоненты.

После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о задании векторных полей в криволинейных системах координат более формально.

Прежде всего напомним, что система криволинейных координат в области — это диффеоморфизм области евклидова пространства параметров на область в результате которого каждая точка приобретает декартовы координаты соответствующей точки

Поскольку — диффеоморфизм, касательное отображение является изоморфизмом векторных пространств.

Каноническому базису пространства отвечает базис пространства состоящий из векторов координатных направлений Разложению любого вектора по этому базису отвечает такое же разложение (с теми же компонентами вектора по каноническому базису При отсутствии евклидовой структуры в числа составили бы наиболее естественную координатную запись вектора связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат.

Однако принятие такого координатного представления не вполне соответствовало бы тому, о чем мы договорились в мере 4. Дело в том, что базис пространства соответствующий каноническому базису хотя и состоит из векторов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из ортов этих направлений, т. е., вообще говоря,

Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием структуры евклидова пространства в и, следовательно, в каждом векторном пространстве

Благодаря изоморфизму можно перенести евклидову структуру пространства положив для любой пары векторов . В частности для квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение:

Квадратичная форма

коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение в Если такая форма задана в каждой точке некоторой области то, как известно из геометрии, говорят, что в этой области задана риманова метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в прямолинейных координатах пространства в каждом касательном пространстве ввести свою евклидову структуру, что соответствует «кривому» вложению области в евклидово пространство

Если векторы , ортогональны в то при Это значит, что мы имеем дело с триортогональной сеткой координат. В терминах пространства это означает, что векторы , канонического базиса взаимно ортогональны в смысле определяемого квадратичной формой (25) скалярного произведения в Дальше мы будем рассматривать для простоты только триортогональные системы криволинейных координат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма (25) имеет следующий специальный вид:

где

Пример, 5. В декартовых цилиндрических и сферических координатах евклидова пространства квадратичная форма (25) имеет соответственно вид

Таким образом, каждая из этих систем является триортогональной системой координат в области своего определения.

Векторы канонического базиса как и отвечающие им векторы имеют следующую норму: Значит, орты (единичные в смысле скалярного квадрата векторы) координатных направлений имеют для триортогональной системы (26) следующее координатное представление в

Пример 6. Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает, что для декартовых, цилиндрических и сферических координат тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий вид:

Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор поля раскладывается по базису, состоящему из ортов координатных направлений. Значит, отвечающий вектору поля вектор следует раскладывать не по каноническому базису базису состоящему из ортов координатных направлений.

Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства можно считать, что в области задана риманова метрика (25) или (26) и векторное поле координатное представление которого в каждой точке получается разложением соответствующего этой точке вектора поля по ортам координатных направлений.

Теперь разберемся с формами. Любая форма в при диффеоморфизме автоматически переносится в область Этот перенос, как нам известно, происходит в каждой точке из пространства в соответствующее пространство Поскольку мы перенесли в евклидову структуру из то из определения переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в форме соответствует точно такая же форма в где Это же можно сказать и о формах вида не говоря уж о формах — функциях.

После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже можно ввести только в области отвлекаясь от исходного

пространства считая, что в задана риманова метрика (25), заданы скалярные поля и векторные поля А, В, а также формы которые в каждой точке определяются в соответствии с евклидовой структурой в задаваемой римановой метрикой

Пример 7. Форма объема в криволинейных координатах как мы знаем, имеет вид

Для триортогональной системы

В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно получаем

Сказанное позволяет записать форму в различных системах криволинейных координат.

Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача состоит в том, чтобы, зная разложение вектора по ортам , триортогональной системы координат, определяемой римановой метрикой (26), найти разложение форм по каноническим -формам -формам соответственно.

Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но фиксированной точке для сокращения записи мы позволим себе опускать символ отмечающий привязку рассматриваемых векторов и форм к касательному пространству в точке

Итак, — базис в состоящий из ортов (27) координатных направлений; — разложение вектора по этому базису.

Заметим прежде всего, что из формул (27) следует, что

Таким образом, если то, с одной стороны,

а с другой стороны, как видно из (29),

Следовательно, и мы нашли разложение

формы отвечающее разложению вектора А.

Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и цилиндрических координатах соответственно

то, как следует из результатов примера 6,

Пусть теперь Тогда, с одной стороны,

где — форма объема в (см. (28) и (27)).

С другой стороны, из (30) получаем

Сравнивая результаты, заключаем, что Аналогично, убеждаемся в том, что Таким образом, мы нашли координатное представление

формы отвечающей вектору

Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и формулы в декартовых, цилиндрических и сферических координатах получаем соответственно

Добавим еще, что на основании формулы (28) можно написать, что

Пример 10. В частности, для декартовых, цилиндрических и сферических координат формула (33) имеет соответственно следующий вид:

Теперь, когда получены формулы легко, исходя из определений операторов найти их координатное представление в триортогональной системе криволинейных координат.

Пусть Опираясь на определения, запишем

На основании формулы (31) отсюда заключаем, что

Пример 11. В декартовых, полярных и сферических координатах соответственно

Пусть задано поле Найдем координаты поля

Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем

На основании соотношения (32) теперь заключаем, что

т. е.

Пример 12. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно

Пусть теперь задано поле Найдем выражение для

Исходя из определения (11) и формулы (32), получаем

На основании формулы (33) теперь заключаем, что

В декартовых, цилиндрических и сферических координатах отсюда соответственно получаем

Соотношения (34), (36) можно использовать для получения записи оператора Лапласа в произвольной триорто тональной системе координат

Пример 13. В частности, для декартовых, полярных и сферических координат из (37) получаем соответственно

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)