3. Несобственные интегралы с переменной особенностью.

Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку единичного заряда выражается формулой где у — переменная точка пространства Если теперь заряд распределен в ограниченной области с ограниченной плотностью (равной нулю вне X), то потенциал так распределенного заряда (в силу аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде

Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка Если точка у лежит вне множества X, то интеграл (4) собственный; если же то при и точка у оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка, таким образом, перемещается.

Поскольку где

то естественно, как и прежде, что рассматриваемый интеграл (4) с переменной особенностью сходится равномерно на множестве если на при

Мы приняли, что на X, поэтому

Эта оценка показывает, что при любом т. е. в указанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на множестве

В частности, если проверить, что функция непрерывна по у, то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о непрерывности потенциала . Но непрерывность функции формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изменением у меняется область интегрирования . Рассмотрим поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции

Заметим, что при

Первый из этих двух интегралов при условии, что — непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной

областью интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не превосходит

Значит, при всех значениях у, достаточно близких к будет выполнено неравенство устанавливающее непрерывность в точке

Таким образом, показано, что потенциал является непрерывной функцией во всем пространстве

Разобранные примеры дают основание принять следующее общее

Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и как таковой сходится при каждом значении . Пусть — часть множества X, полученная удалением из X -окрестности множества особых точек интеграла,

Будем говорить, что интеграл (I) сходится равномерно на множестве если на У при

Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следующее полезное

Утверждение 4. Если функция в интеграле (1) допускает оценку где то интеграл сходится равномерно на множестве У.

Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем, что интеграл полученный формальным дифференцированием потенциала (4) по переменной , сходится равномерно на множестве поскольку

Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции на

Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция потенциал (4) — имеет частную производную и что Для этого, очевидно, достаточно проверить, что

Но действительно,

Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение порядка интегрирований. В общем случае для перестановки несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае это условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рассматриваемой функции.

Итак, показано, что потенциал , порожденный распределенным в пространстве зарядом ограниченной плотности, является функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве.

Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию.

Пусть

где X — ограниченная измеримая область в параметр у пробегает область причем — гладкое отображение, удовлетворяющее условиям , т. е. задает -мерную параметризованную поверхность, точнее, — путь в , т. е. функция непрерывна в всюду, кроме точки около которой она может быть и неограниченной; — ограниченная непрерывная функция. Будем считать, что при каждом интеграл (5) (вообще говоря, несобственный) существует.

В рассмотренном нами выше интеграле (4), в частности, было

Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функцию определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5) означает, что по любому можно выбрать так, что

при любом будет

где интеграл берется по множеству

Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения.

Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными при его описании условиями на функции сходится равномерно на то

Утверждение 6. Если про интеграл (5) известно дополнительно, что функция не зависит от параметра то при условии равномерной сходимости интеграла

на множестве можно утверждать, что функция имеет непрерывную частную производную причем

Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне аналогичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не останавливаемся. В случае необходимости читатель может найти их в учебнике математического анализа С. М. Никольского (часть II, стр. 127—129), который мы указали в списке литературы.

Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при произвольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В примерах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках и при перестановке порядка интегрирований.

В качестве иллюстрации возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один пример из теории потенциала.

Пример 5. Пусть заряд распределен на гладкой компактной поверхности с поверхностной плотностью заряда Потенциал такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя и, очевидно, представляется поверхностным интегралом

Пусть V —ограниченная функция; тогда при этот интеграл собственный и функция бесконечно дифференцируема вне 5.

Если же то интеграл имеет в точке у интегрируемую особенность. Особенность интегрируема, так как поверхность гладкая и в окрестности точки мало отличается от куска плоскости на которой, как мы знаем, особенность типа интегрируема при Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить в формальное доказательство, если локально в окрестности точки представить 5 в виде где Тогда

и, применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8) представляет функцию , непрерывную во всем пространстве

Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал (4) и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя это дифференцирование под знаком интеграла, единообразно убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал как и функция удовлетворяет уравнению Лапласа т. е. является в указанной области гармонической функцией.