§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
1. Идея метода Лапласа.
В этом параграфе будет изложен метод Лапласа — один из немногих достаточно общих методов построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничимся рассмотрением интегралов вида
где 
— вещественнозначная функция, а 
— параметр. Такие интегралы обычно называют интегралами Лапласа.
Пример 1. Преобразование Лапласа
является частным случаем интеграла Лапласа.
Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида 
где 
на 
Такой интеграл тоже является частным случаем общего интеграла Лапласа (1), поскольку 
Нас будет интересовать асимптотика интеграла (1) при больших значениях параметра 
точнее, при 
Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле 
— конечный отрезок, функции 
гладкие на I, причем 
имеет единственный и притом строгий максимум 
в точке 
Тогда функция 
тоже имеет строгий максимум в точке 
который тем более резко возвышается над остальными значениями этой функции на отрезке I, чем больше значение параметра 
. В результате, если 
в окрестности 
то весь интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки 
допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к нулю при 
Это наблюдение называется принципом локализации. Обращая историческую последовательность событий, можно было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа очень
напоминает принцип локального действия 
-образных семейств функций и самой 
-функции.
Теперь, к 
да интеграл берется только по малой окрестности точки 
функции 
можно заменить главными членами их тейлоровских разложений при 
Остается найти асимптотику получаемого канонического интеграла, что делается без особого труда.
В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла.
Пример 3 Пусть 
, что бывает, например, когда функция 
монотонно убывает на отрезке 
При этих условиях 
, когда 
Реализуя идею метода Лапласа, при малом 
находим, что
Поскольку 
отсюда следует, что в рассматриваемом случае
Пример 4. Пусть 
. Тогда 
и мы предположим, что 
поскольку 
— точка максимума.
Используя разложения 
справедливые при 
находим, что при малом 
Выполнив в последнем интеграле замену переменной 
(ведь 
получаем
где 
при 
Учитывая, что
находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рассматриваемом случае:
Пример 5. Если 
но 
то, рассуждая, как и в примере 4, на сей раз получим, что
и, значит,
Мы получили на эвристическом уровне три наиболее употребительные формулы (2) — (4), относящиеся к асимптотике интеграла (1) Лапласа.
Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла
если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т. е. весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при 
интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выделенных точек) и 
если в локализованном интеграле подынтегральную функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко находится.
Если, например, в интеграле (1) функция 
имеет на отрезке 
несколько точек локального максимума 
то, используя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым окрестностям 
точек максимума 
что в них содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла
как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности 
и потому асимптотическое разложение этого интеграла при 
обозначают символом 
и называют вкладом точки 
в асимптотику интеграла (1).
Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом, означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма
вкладов всех критических в том или ином отношении точек подынтегральной функции.
и, как видно из формул 
основной вклад вносят только те точки локального максймума, в которых достигается значение абсолютного максимума функции 
на отрезке 