2. Пополнение метрического пространства.

Пример. 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим множество рациональных чисел с метрикой, индуцированной стандартной метрикой на

Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяся в к фундаментальна, но не имеет предела в с указанной метрикой не является полным пространством. Вместе с тем оказывается подпространством полного метрического пространства которое естественно рассматривать как пополнение Заметим, что множество можно было бы рассматривать и как подмножество полного метрического пространства однако называть пополнением не представляется целесообразным.

Определение 4. Наименьшее полное метрическое пространство, содержащее данное метрическое пространство назовем пополнением пространства .

Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере двух разъяснений: что такое «наименьшее» и существует ли оно.

Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем следующее более формальное

Определение 5. Если метрическое пространство является подпространством метрического пространства. и множество всюду плотно в Y, то пространство называется пополнением метрического пространства

Определение 6. Метрическое пространство называется изометричным метрическому пространству если существует биективное отображение такое, что для

любых точек из справедливо равенство (Отображение называют в этом случае изометрией.)

Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности между метрическими пространствами. При изучении свойств метрических пространств мы изучаем не индивидуальное пространство, а свойства сразу всех изометричных ему пространств. По этой причине изометричные пространства можно не различать.

Пример 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как метрические пространства изометричны, поэтому при изучении метрических свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, от расположения фигуры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры.

Приняв соглашение об отождествлении изометричных пространств, можно показать, что если пополнение Метрического пространства и существует, то оно единственно.

Проверим предварительно, что справедлива

Лемма. Для любой четверки точек метрического пространства имеет место неравенство

В силу неравенства треугольника

откуда и следует (7).

Теперь докажем

Утверждение 1. Если метрические пространства являются пополнениями одного и того же пространства то они изометричны.

Изометрию построим следующим образом. Для положим Тогда при Если то — предельная точка для X, так как X всюду плотно в Пусть сходящаяся к в смысле метрики последовательность точек X. Эта последовательность фундаментальна в смысле . Но поскольку на X метрики совпадают с эта последовательность фундаментальна также и в Последнее пространство полное, поэтому эта последовательность имеет в нем предел Стандартным образом проверяется, что такой предел единственный. Положим теперь скольку любая точка так же как и любая точка является пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из X, то построенное отображение сюръективно.

Проверим теперь, что для любой пары точек из выполнено равенство

Если лежат в X, то это очевидно. В общем же случае возьмем две последовательности точек из X, сходящиеся соответственно к Из неравенства (7) вытекает, что

или, что то же самое

По построению эти же последовательности сходятся к соответственно в пространстве Значит,

Сравнивая соотношения (9) и (10), получаем равенство (8). Это равенство заодно устанавливает инъективность нашего отображения и тем самым завершает доказательство того, что — изометрия.

В определении 5 пополнения метрического пространства мы требовали, чтобы было подпространством всюду плотным в . С точки зрения отождествления изометричных пространств можно было бы теперь расширить представление о пополнении и принять следующее

Определение 5. Метрическое пространство называется пополнением метрического, пространства если в имеется всюду плотное подпространство, изометричное

Докажем теперь

Утверждение 2. Каждое метрическое пространство имеет пополнение.

Если исходное пространство само является полным, то оно само является своим пополнением.

Идею построения пополнения неполного метрического пространства мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая утверждение 1.

Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в пространстве Две такие последовательности назовем эквивалентными или конфинальными, если при . Легко видеть, что отношение конфинальности действительно является отношением эквивалентности. Множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей обозначим через Введем в 5 метрику по следующему

правилу. Если — элементы некоторые последовательности из классов соответственно, то положим

Из неравенства (7) следует, что это определение корректно: написанный справа предел существует (по критерию Коши для числовой последовательности) и не зависит от индивидуального выбора последовательностей из

Функция удовлетворяет всем аксиомам метрики. Полученное метрическое пространство и является искомым пополнением пространства В самом деле, изо метрично подпространству пространства состоящему из тех классов эквивалентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых имеется постоянная последовательность Такой класс естественно отождествить с точкой Получающееся при этом отображение очевидно, изометрично.

Остается проверить, что всюду плотно в и что — полное метрическое пространство.

Проверим сначала плотность Пусть — произвольный элемент -фундаментальная последовательность из принадлежащая этому классу Взяв мы Получаем последовательность точек пространства которая, как видно из (11), имеет своим пределом именно

Докажем теперь полноту пространства Пусть произвольная фундаментальная последовательность пространства Для каждого подберем элемент из так, что Тогда последовательность также как и последовательность окажется фундаментальной. Но в таком случае будет фундаментальной в и последовательность Последовательность определяет некоторый элемент к которому в силу (11) и уходится данная последовательность

Замечание 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится понятно, что пополнение метрического пространства в смысле определения 5 действительно является наименьшим полным пространством, содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое пространство. Этим мы уточнили и оправдали исходное определение 4.

Замечание 2. Построение множества действительных чисел, исходя из множества рациональных чисел, можно было бы провести в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением пополнения метрического пространства. Именно так переход от к был осуществлен Кантором.

Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство функций, интегрируемых по Лебегу.

Задачи и упражнения

(см. скан)