3. Подпространство метрического пространства.

Если метрическое пространство, подмножество X, то, полагая для любой пары точек из Е расстояние равным т. е. расстоянию между этими точками в X, мы получим метрическое пространство которое по отношению к исходному пространству принято называть Подпространством.

Итак, мы принимаем следующее

Определение 9. Метрическое пространство называется подпространством метрического пространства если и для любой пары точек множества справедливо равенство

Поскольку шар в подпространстве метрического пространства очевидно, является пересечением

множества с шаром в X, то всякое открытое в множество имеет

где — множество, открытое в X, а всякое замкнутое в множество имеет вид

где — множество, замкнутое в X.

Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метрическом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и зависит от этого объемлющего пространства.

Пример 14. Интервал оси абсцисс плоскости со стандартной метрикой в является метрическим пространством которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Вместе с тем очевидно, что не является замкнутым множеством в

Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества также относительно.

Пример 15. Множество. непрерывных на отрезке функций с метрикой (7) является подпространством метрического пространства Однако если на рассматривать метрику (6), а не (7), то это уже не будет иметь место.