3. Одномерный случай.

Лемма 2. а) Если — диффеоморфизм отрезка на отрезок то и

Формула (3) справедлива в

Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно, мы дадим здесь независимое от изложенного в части I его короткое доказательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении критерий Лебега существования интеграла.

Поскольку — диффеоморфизм, функция ограничена на Точками разрыва этой функции могут быть только прообразы точек разрыва функции на Последние по критерию Лебега образуют множество меры нуль. Образ этого множества при диффеоморфизме как мы видели при доказательстве леммы 1, имеет меру нуль. Значит,

Пусть — разбиение отрезка Посредством отображения оно индуцирует разбиение отрезка причем из равномерной непрерывности отображений следует, что Для разбиений с отмеченными точками запишем интегральные суммы:

причем точки можно считать выбранными именно так, что где — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности

Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, выбор отмеченных Точек в интегральных суммах можно делать по своему усмотрению не влияя на величину предела. Значит, из написанного равенства интегральных сумм в пределе при получается равенство (4) для интегралов.

Утверждение. леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4). Прежде всего отметим, что в одномерном случае Далее, компакт легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих в и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл от по множеству сведется к сумме интегралов от по отрезкам указанной системы, а интеграл от по сведется к сумме интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой системы. Применяя к каждой

паре соответствующих друг другу при отображении отрезков равенство (4), после сложения получаем формулу (3).

Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены переменной в одномерном интеграле имела вид

где было любым гладким отображением отрезка на отрезок с концами . В формуле (5) стоит не модуль производной, а сама производная. Это связано с тем, что. в левой части формулы (5) может быть

Если, однако, заметить, что для отрезка с концами а и имеют место соотношения

то становится ясно, что в случае, когда диффеоморфизм, формулы (4) и (5) отличаются Лишь внешним видом, а по существу совпадают.

Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем воспользоваться), что если — диффеоморфизм отрезков, то всегда справедливы формулы

относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозначных функций.

А если это так, то, значит, в одномерном случае можно считать установленным, что формула (3) остается в силе для любой ограниченной функции если интегралы в ней понимать как верхние или как нижние интегралы Дарбу.

Будем временно считать, -неотрицательная функция, ограниченная константой М.

Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно взять отвечающие друг другу в силу отображения разбиения отрезков соответственно и написать следующие оценки, в которых — максимальное из колебаний функции

на промежутках разбиения

Учитывая равномерную непрерывность отсюда при получаем

Применяя доказанное к отображению и функции получаем обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицательных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую функцию можно представить в виде (разности неотрицательных), то это равенство можно считать доказанным и в общем случае Аналогично проверяется и второе равенство.

Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утверждение а) леммы 2 в случае вещественнозначной функции