3. Замена переменных в несобственном интеграле.

В заключение получим формулу замены переменных в несобственных интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое дополнение к теоремам 1 и 2 из § 5.

Теорема 1. Пусть — диффеоморфное отображение открытого множества на такое же множество

, а функция интегрируема на измеримых компактных подмножествах множества Если несобственный интеграл сходится, то интеграл также сходится и их значения совпадают.

Открытое множество можно исчерпать последовательностью лежащих в компактов каждый из которых является объединением конечного числа промежутков пространства (см. в этой связи начало доказательства леммы 1 из § 5). Поскольку — диффеоморфизм, исчерпанию множества отвечает исчерпание множества где

— измеримые компакты в Соизмеримость множеств х следует из леммы 1, § 5). В силу утверждения 1 из § 5 можно записать, что

Левая часть этого равенства при по условию имеет предел. Значит, правая часть при тоже имеет и притом тот же предел.

Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот же предел при любом исчерпании указанного специального вида. В дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть теоремы. Но формально для завершения доказательства сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 проверить, что найденный предел существует для любого исчерпания области Эту (не вполне элементарную проверку) мы оставляем читателю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из доказанного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от функции по множеству (см. задачу 7).

Теорема 2. Пусть — отображение открытых множеств Предположим, что в можно указать такие множества меры нуль, что — открытые множества, а диффеоморфно отображает первое из них на второе. Если при этих условиях несобственный интеграл сходится, по сходится также интеграл и их значения совпадают. Если к тому же величина определена и ограничена на компактных подмножествах множества то функция интегрируема в несобственном

смысле по множеству и имеет место равенство

Сформулированное утверждение является прямым следствием теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из § 5, если учесть, что при отыскании несобственного интеграла по открытому множеству можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых компактов (см. замечание 3).

Пример 5. Вычислим интеграл который при является несобственным, поскольку тогда подынтегральная функция неограничена в окрестности окружности

Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем

При последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как предел по специальному исчерпанию прямоугольника прямоугольниками Используя теорему Фубини, находим, что при

На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный интеграл при расходится.

Пример 6. Покажем, что несобственный интеграл сходится лишь при условии —

Ввиду очевидной симметрии достаточцо рассмотреть интеграл только по облачи в которой

Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное выполнение условий . Действительно, если бы, например, было 0, то уже для интеграла по прямоугольнику лежащему в мы бы получили оценку

которая показывает, что при этот интеграл неограниченно возрастает. Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать, что

В ограниченной части области подынтегральная функция не имеет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла равносильна исследованию сходимости интеграла от той же функции, но, например, по той части области где Число а предполагается достаточно большим, чтобы кривая при лежала в

Переходя к обобщенным полярным координатам по формулам

на основании теоремы 2 получаем

Используя исчерпание области промежутками и применяя теорему Фубини, получаем

Поскольку первый из этих пределов заведомо конечен, а второй конечен, лишь когда

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)