Любому разбиению Р промежутка I на промежутки
соответствует разложение
на множества
Если все эти множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам меры нуль, то в силу аддитивности интеграла
Если
непрерывна на
то по теореме о среднем
где
Поскольку
где
то нам остается связать
Если бы
было линейным преобразованием, то
был бы параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, был бы равен
Но диффеоморфизм локально является почти линейным отображением, по этому, если размеры промежутков
достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что
(можно показать, что при некотором выборе точки
будет иметь место даже точное равенство). Таким образом,
Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции
по промежутку
отвечающая разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками
. В пределе при
из (1) и (2) получаем
Это и есть искомая формула. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями, однако чтобы избежать утомительных технических трудностей, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся от этого пути.
Перейдем к точным формулировкам. Напомним
Определение 1 Носителем заданной в области
функции
назовем замыкание в
множества тех точек области
в которых
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая функция
равна нулю в окрестности границы области
точнее, когда носитель функции
(обозначаемый