§ 3. Основные интегральные формулы анализа

Важнейшей формулой анализа является уже известная нам формула Ньютона—Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны, являются развитием формулы Ньютона — Лейбница, а с другой стороны, в совокупности образуют наиболее используемую часть аппарата интегрального исчисления.

В первых тре.х пунктах параграфа, не стремясь к общности формулировок, на наглядном материале мы получим три классические интегральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать независимо от первых трех.

1. Формула Грина.

Формула Грина — это следующее

Утверждение 1. Пусть — плоскость с фиксированной в ней системой координат — компактная область в этой плоскости, ограниченная кусочно гладкими кривыми; — функции, гладкие в замкнутой обмети Тогда имеет место соотношение

в котором справа стоит интеграл по границе области ориентированной согласованно с ориентацией самой области

Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда есть квадрат . Тогда формула Грина сводится к равенству

которое мы и докажем.

Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем

Доказательство закончено. Остальное — дело определений и интерпретации уже полученного соотношения. Дело в том, разность двух последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части равенства (2).

Рис. 87.

Действительно, кусочно гладкая кривая распадается на четыре куска (рис. 87). Их можно рассматривать как параметризованные кривые

По определению интеграла от -формы по кривой

и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации границы области, с учетом ориентации кривых очевидно,

где — есть кривая взятая с противоположной задаваемой отображением ориентацией

Таким образом, равенство (2) проверено

Аналогично проверяется, что

Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина

для квадрата

Заметим, что несимметричность в формуле Грина (1) и равенствах (2), (3) связана с несимметричностью х и у: ведь х и у упорядочены и этим в задана ориентация

На языке форм доказанное соотношение (Г) можно переписать в виде

где — произвольная гладкая -форма на Справа, здесь стоит интеграл от сужения формы на границу квадрата

Рис. 88.

Проведенного доказательство соотношения (2) допускает очевидное обобщение: если — не квадрат, а «криволинейный четырехугольник», боковые стороны которого вертикальные отрезки (быть может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны — графики кусочно гладких функций над отрезком оси то

Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» по отношению оси е. с двумя горизонтальными сторонами, то для. него праведливо равенство

Предположим теперь, что область можно разрезать на конечное число областей типа (рис. 88). Тогда для этой области тоже верна формула вида (2).

В самом деле, двойной интеграл по области в силу его аддитивности есть сумма интегралов по кускам типа на которые разрезана область Для каждого такого куска справедлива формула (2), т. е. двойной интеграл по нему равен интегралу от формы по ориентированной границе этого куска.

Но соседние куски на общей части их границ индуцируют противоположные ориентации, поэтому при сложении интегралов по границам всех кусков в результате взаимных уничтожений, очевидно, останется только интеграл по границе самой области

Аналогично, если область допускает разбиение на области типа то для справедливо равенство типа равенства (3).

Области, которые можно разрезать как на куски вида так и на куски вида условимся пока называть простыми областями. На самом-то деле это достаточно богатый для всех практических целей класс областей.

Записав для простой области оба соотношения (2), (3), после их сложения получим формулу (1).

Итак, для простых областей формула Грина доказана.

Мы не будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см. по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти, установив равенства

Пусть область С получена гладким отображением квадрата Если — гладкая -форма на С, то

Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами равенство (см. крайние равенства — определения или их прямые следствия; оставшееся второе слева равенство связано с независимостью внешнего дифференцирования от системы координат.

Значит, для области С тоже справедлива формула Грина.

Наконец, если какую-то ориентированную область удается разрезать на конечное число областей типа области С, то из уже описанных выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям границ областей которые лежат внутри следует, что

т. e. для области формула Грина тоже имеет место.

Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать, поскольку позже (гл. XV) будет описан полезный технический прием, который позволяет избежать подобных геометрических затруднений, заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом.

Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина

Пример 1. Положим в Тогда получим, что

где — площадь области Используя формулу Грина, можно, таким образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам выражения для площади области на плоскости через криволинейные интегралы по ориентированной границе этой области:

В частности, отсюда следует, что работа которую тепловая машина совершает при изменении состояния ее рабочего вещества по замкнутому циклу у, равна площади той области плоскости V, Р состояний, которая ограничена кривой у (см. задачу 5 § 1).

Пример 2. Пусть — замкнутый круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку (т. е. такую точку что

Предположим, что неподвижных точек у отображения нет. Тогда для любой точки однозначно определены луч с вершиной проходящий через точку , и точка пересечения этого луча с ограничивающей Вокружностью. Таким образом, возникло бы отображение которое, как легко видеть, тождественно на границе круга, а в целом той же гладкости, что и исходное отображение Покажем, что такого отображения не существует.

В области (плоскость с выброшенным началом координат) рассмотрим уже встречавшуюся нам в примере 1 § 1 форму Непосредственно проверяется, что . Поскольку то при наличии отображения можно было бы получить форму на В, причем Значит, по формуле Грина

Но сужение на есть тождественное отображение, поэтому

Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 § 1, отличен от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформулированного утверждения.

Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размерности (см. пример 5). Оно справедливо также не только для гладких, но и для любых непрерывных отображений . В этом общем виде оно называется теоремой Брауэра о неподвижной точке.