3. Дифференциальные операторы rad, rot, div и V.

Определение 1. Внешнему дифференцированию -форм (функций), -форм и -форм в ориентированном евклидовом пространстве отвечают соответственно операции нахождения градиента скалярного поля, ротора и дивергенции векторного поля, определенные соотношениями

В силу установленного равенствами соответствия между формами, скалярными и векторными полями в соотношения являются корректным определением операций выполняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями. Эти операции, или, как говорят, операторы теории поля, отвечают одной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой к формам различной степени.

Укажем же явный вид этих операторов в декартовых координатах пространства

Как мы выяснили, в этом случае

Поскольку

то из (7) следует, что в этих координатах

где — фиксированный в ортонормированный базис.

Поскольку

то из (8) следует, что в декартовых координатах

Для запоминания последнее соотношение часто записывают в следующем символическом виде:

Далее, поскольку

то из (4) следует, что в декартовых координатах

Из полученных формул (9), (10), (11) видно, что являются линейными дифференциальными операциями (операторами). Оператор определен на дифференцируемых скалярных полях и сопоставляют им векторные поля. Оператор тоже векторнозначен, но определен на дифференцируемых векторных полях. Оператор определен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в соответствие скалярные поля.

Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их выражений в декартовых координатах. Об этом мы еще скажем в этого параграфа.

Заметим еще, что векторное поле обычно называют ротором -ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо символа иногда пишут символ

В качестве примераиспользования рассмотренных операторов приведем запись через них знаменитой системы уравнений Максвелла, описывающей состояние компонент электромагнитного поля как функций точки пространства и времени

Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме).

Здесь — плотность электрического заряда (количество заряда, отнесенное к единице объема), — вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку), — векторы напряженности электрического и магнитного поля соответственно, и с — размерное постоянные (при этом с — скорость света в вакууме).

В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона)

где — ортонормированный базис в — соответствующие ему декартовы координаты в

По определению применение оператора V и скалярному полю (т. е. к функции) дает векторное поле

что совпадает с полем (9), т. е. оператор набла есть попросту записанный в других обозначениях оператор

Используя, однако, векторную структуру записи оператора V, Гамильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую соответствующие алгебраические операции с векторами.

Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в обращении с оператором V надо придерживаться тех же принципов и соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным оператором дифференцирования Например, равно , а не или не Значит, оператор действует на то, что ему подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль коэффициента, т. е. есть новый

дифференциальный оператор а не функция Далее

Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с V как с заданным в декартовых координатах векторным полем, сопоставляя соотношения (12), и (11), получаем

Так через оператор Гамильтона и векторные операции в записываются операторы

Пример 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла участвовали только операторы Используя описанные принципы обращения с оператором мы в качестве компенсации для оператора перепишем систему Максвелла в следующем виде:

4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа. В евклидовом ориентированном пространстве мы установили связь между формами, с одной стороны, и векторными и скалярными полями — с другой. Это позволило внешнему умножению и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции над полями (см. формулы (5), (6) и (9)-(11)).

Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда основных дифференциальных формул векторного анализа.

Например, имеют место следующие соотношения:

Проверим последнее равенство:

Аналогично проверяются и первые два соотношения. Разумеется, всех этих равенств можно осуществить и непо средственяым дифференцированием в координатах.

Если учесть, что для любой формы со, то можно также утверждать, что справедливы равенства

Действительно:

В формулах (17) -(19) операторы применяются однократно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются операции второго порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух из трех исходных операций. Кроме приведенных в (20) и (21), можно рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов

Оператор применяется, как видно, к скалярному полю. Этот оператор обозначают буквой («дельта») и называют оператором Лапласа или лапласианом.

Из формул (9), (11) следует, что в декартовых координатах

Поскольку оператор действует на числовые функции, его можно применять покомпонентно к координатам векторных полей . В этом смысле

С учетом последнего соглашения, для тройки операторов второго порядка (22) можно выписать следующее соотношение

на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2).

Используя язык векторной алгебры и формулы (14) — (16), все операторы второго порядка (20) — (22) можно записать через оператор Гамильтона V:

С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух из этих операторов представляется вполне естественным.

Последнее равенство означает, что между оператором Гамильтона V и лапласианом имеется простая связь: