2. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла.

Утверждение 2. Пусть — определенные на множестве Е и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах функции, причем на Е Тогда из сходимости несобственного интеграла вытекает сходимость интегралов

Пусть — исчерпание множества Е, на элементах которого обе функции интегрируемы. Из критерия Лебега вытекает интегрируемость функции на множествах поэтому можно записать, что

где — любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом утверждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности позволяют заключить, что интеграл сходится.

Рассмотрим теперь функции

Очевидно, и В силу уже доказанного несобственные интегралы от функций по множеству Е сходятся. значит, сходится и несобственный интеграл от функции по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций

Для того чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения. Рассмотрим в этой связи

Пример 2. В -мерном единичном шаре с выколотым центром рассматривается функция где расстояние от точки до точки . Выясним, при каких значениях интеграл от этой функции по области сходится Для этого построим исчерпание области кольцевыми областями

Переходя к полярным координатам с центром 0, по теореме Фубини получаем

где некоторое произведение синусов углов появляющееся в якобиане перехода к полярным координатам а с — величина интеграла по которая зависит только от и не зависит от .

При полученная величина интеграла по будет иметь конечный предел, если . В остальных случаях последний интеграл стремится к бесконечности, когда

Итак, мы показали, что функция где — расстояние до точки 0, интегрируется в проколотой окрестности точки, лишь при где — размерность пространства.

Аналогично показывается, что вне шара В, т. е. в окрестности бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле, лишь когда а

Пример 3. Пусть — -мерный куб, — его -мерная грань, задаваемая условиями На множестве рассмотрим, функцию где — расстояние от точки до грани Выясним, при каких значениях интеграл от этой функции по множеству сходится.

Заметим, что если то

Пусть — это куб из которого удалена -окрестность грани По теореме Фубини

где — грань из которой удалена окрестность точки

Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что последний интеграл сходится лишь при Значит, рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при где — размерность грани, около которой функция может неограниченно возрастать.

Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было проверено, что сходимость интеграла от функции влечет входимость интеграла от функции Оказывается, для несобственного в смысле определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) сходимости несобственного интеграла. Чтобы сразу понять суть возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следующий

Пр им Пусть функция определена на множестве неотрицательных чисел следующими условиями:

Поскольку ряд сходится, то, как легко видеть, предел при интеграла существует и равен сумме указанного ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его членов можно получить ряд, например, расходящийся к Частичные суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от функции по объединению соответствующих членам ряда отрезков вещественной оси. Множества в совокупности, очевидно, образуют исчерпание области задания функции

Таким образом, несобственный интеграл от предъявленной функции в прежнем его понимании существует, а в смысле определения 2 не существует.

Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от порядка суммирования его членов. Последнее, как нам известно, в точности равносильно абсолютной сходимости.

На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная в области D функция неограничена в окрестности некоторого множества Тогда мы удаляем из точки, лежащие в -окрестности множества Е, и получаем область При эти области порождают исчерпание Если же область неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в к окрестностям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое время и рассматривали в одномерном случае и именно эти специальные исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай пространства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили, изучая несобственные интегралы на прямой.