5. Дифференцирование и предельный переход.

Теорема 4. Пусть - семейство функций определенных на выпуклом ограниченном множестве X (лежащем в или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от параметра — бава в Т. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство производных сходится равномерно на X к некоторой функции а исходное семейство сходится хотя бы в одной точке

то оно сходится равномерно на всем множестве X к дифференцируемой функции причем

Покажем сначала, что семейство равномерно сходится на множестве X при базе Воспользуемся теоремой о конечном приращении в следующих оценках:

По условию семейство сходится равномерно на X при базе величина как функция при той же базе имеет предел, а — ограниченная величина при Ввиду необходимости условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства функции и существования предела функции для любого найдется такой элемент В базы что для любых и любого будет . А это в силу написанных оценок означает, что семейство функций тоже удовлетворяет условиям критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на X при базе к некоторой функции

Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь следующие оценки:

Эти оценки, справедливые при ввиду равномерной сходимости семейства на X, показывают, что семейство функций

которые мы будем рассматривать фиксированном значении сходится при базе равномерно относительно всех значений таких, что

Заметим, что при ввиду дифференцируемости функции в точке а ввиду того, что при базе имеем при базе

Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диаграмму

Правый предельный переход при показывает, что функция дифференцируема в точке

Следствие 5. Если ряд из функций дифференцируемых на ограниченном выпуклом множестве X (лежащем в или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя бы в одной точке , а ряд сходится равномерно на X, то ряд тоже сходится равномерно на X, его сумма дифференцируема на X и

Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования.

Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве У. Например, У может быть Областью X определения функций в теореме 4 тоже может быть соответствующее подмножество любого линейного нормированного пространства. В частности, X может лежать в или Для вещественнозначных функций вещественного аргумента (при дополнительных требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще более простыми (см. задачу 11).

В качестве иллюстрации использования теорем 2—4 докажем следующее широко используемое и в теории и в конкретных вычислениях

Утверждение 3. Если круг сходимости степенного ряда не сводится к единственной точке то

внутри К сумма этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, функцию можно интегрировать по любому гладкому пути у: и если , то

Замечание 5. Здесь . В частности, если на интервале действительной оси имеет место равенство то

Поскольку то из формулы Коши—Адамара (теорема из § 2) вытекает, что степенной ряд полученный почленным дифференцированием ряда имеет тот же круг сходимости что и исходный степенной ряд. Но по той же теореме из § 2 ряд сходится равномерно в любом круге таком, что . Поскольку ряд очевидно, сходится при к нему теперь применимо следствие 5, чем и обосновывается равенство (15). Итак, показано, что степенной ряд можно дифференцировать почленно.

Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно. Если — гладкий путь в К, то найдется круг такой, что . На исходный степенной ряд сходится равномерно, поэтому в равенстве

стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке функций сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции

Умножение этого равенства на функцию непрерывную на отрезке [0, 1], не нарушит ни самого равенства, ни равномерной сходимости ряда. Значит, по теореме 3 получаем

Но

и мы приходим к равенству (16).

Поскольку в разложении очевидно, то, последовательно применяя равенство (15), вновь получаем знакомые соотношения , которые показывают, что степенной ряд однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора.

Пример 5. Бесселева функция есть решение уравнения Бесселя

Попробуем найти решение этого уравнения, например, при в виде степенного ряда Последовательно, используя формулу (15), после элементарных преобразований приходим к соотношению

из которого в силу указанной единственности степенного ряда с данной суммой, находим

Отсюда легко вывести, что Если считать то мы приходим

к соотношению

Написанный ряд сходится на всей прямой (и во всей плоскости (С), поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над этим рядом являются законными.

Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде степенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу (15), можно непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением данного уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что введенная Гауссом функция

(гипергеометрический ряд) корректно определена при и удовлетворяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному уравнению

Отметим в заключение, что, в етличие от теорем 2, 3, в теореме 4 требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных сходилось равномерно. Мы уже видели (см. пример 2 § 1), что последовательность функций может сходиться к дифференцируемой функции равномерно, в то время как последовательность производных не сходится к . Дело в том, что производная — это характеристика скорости изменения функции, а не величины значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине изменениях значений функции производная формально может меняться очень сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний. большой частоты. Именно это обстоятельство легло в основу построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции, которую он задал в виде ряда очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой если Вейерштрасс показал, что если параметр выбрать удовлетворяющим условию то, с одной стороны, будет непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с другой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке Формальная

проверка последнего утверждения довольно утомительна, поэтому желающие получить более простой пример непрерывной функции без производной могут посмотреть задачу 5 из § 1 гл. V,

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)