§ 2. Топологическое пространство

Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или иной метрики в пространстве а возможность сказать, что такое окрестность точки. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что само определение предела или определение непрерывности может быть сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое пространство является тем математическим объектом, на котором операция предельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее общем виде.

1. Основные определения.

Определение 1. Говорят, что множество X наделено структурой топологического пространства, или наделено топологией, или, что X есть топологическое пространство, если указана система подмножеств, X (называемых открытыми множествами в X), обладающая следующими свойствами:

Таким образом, топологическое пространство есть пара состоящая из множества X и системы выделенных его подмножеств, обладающей теми свойствами, что содержит пустое множество и все множество X, что объединение любого числа множеств системы есть множество системы и пересечение конечного числа множеств системы есть множество системы т.

Как видно, в аксиоматике а), b), с) топологического пространства постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое метрическое пространство с определенным выше понятием открытого множества в нем является топологическим пространством.

Итак, задать топологию в X значит указать систему подмножеств X, удовлетворяющую аксиомам а), b), с) топологического пространства.

Задание метрики в X, как мы видели, автоматически задает топологию на X, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить, что разные метрики на X могут порождать на этом множестве одну и ту же топологию.

Пример 1. Пусть Рассмотрим в метрику задаваемую соотношением (5) § 1, и метрику определенную формулой (3) § 1.

Из неравенств

очевидно, следует, что каждый шар с центром в произвольной точке понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики. Отсюда в силу определения открытого подмножества метрического пространства - вытекает, что обе метрики индуцируют на X рдну и ту же топологию.

Почти все топологические пространства, которое мы будем активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство можно метризовать, т. е. наделить его метрикой, - открытые множества в которой будут совпадать с открытыми множествами системы задающей тойологию на X. Условия, при которых это можно сделать, составляют содержание так называемых метризационных теорем.

Определение 2. Если — топологическое пространство, то множества системы называют открытыми, а дополнения к ним в X — замкнутыми множествами топологического пространства

Топологию в множестве X редко задают перечислением всех множеств системы . Чаще систему задают, указывая лишь некоторый набор подмножеств X, объединением и пересечением

которых можно получить любое множество системы х. Весьма важным поэтому является

Определение 3. Базой топологического пространство (открытой базой или базой. топологии) называется такое семейство открытых подмножеств X, что каждое открытое множество является объединением некоторой совокупности элементов семейства .

Пример 2. Если — метрическое пространство, а — соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность всех шаров, где очевидно, является базой топологии х. Более того, если брать систему всех шаров с положительными рациональными радиусами то эта система также будет базой топологии х.

Итак, топологию х можно задать, описав лишь базу этой топологии. Как видно из примера -2, топологическое пространство может иметь много различных баз топологии

Определение 4. Минимальная мощность баз топологического пространства называется его весом.

Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4 и 6).

Пример 3. Если в взять систему шаров всевозможных рациональных радиусов с центрами во всевозможных рациональных точках то мы, очевидно, получим счетную базу стандартной топологии пространства Нетрудно проверить, что конечной системой открытых множеств стандартную топологию в задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое пространство имеет счетный вес.

Определение 5. Окрестностью точки топологического пространства называется открытое множество, содержащее эту точку.

Ясно, что если на X задана топология х, то для каждой точки определена система ее окрестностей.

Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек топологического пространства может служить базой топологии этого пространства. Таким образом, топологию в X можно ввести, описав окрестности точек множества X. Именно эта форма задания топологии в X и - была начальной в определении топологического пространства. Заметьте, что, например, в метрическом

пространстве саму топологию мы ввели по существу, указав лишь, что такое -окрестность точки. Приведем еще

Пример 4. Рассмотрим множество вещественно-значных непрерывных функций, определенных на всей числовой прямой, и на его основе построим новое множество — множество ростков непрерывных функций. Две функции будем считать эквивалентными в точке а если найдется такая окрестность этой точки, что Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных между собой в точке непрерывных функций назовем ростком непрерывных функций в этой точке. Если — одна из функций порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом Определим теперь окрестность ростка. Пусть — окрестность точки а в — определенная в функция, порождающая росток в точке а. Эта же функция в любой точке порождает свой росток Множество ростков, отвечающих точкам (а), назовем окрестностью ростка Приняв множество таких окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство. Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две различные точки (ростки) могут не иметь непересекающихся окрестностей (рис. 66).

Рис. 66.

Определение 6. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа любые две различные точки пространства обладают непересекающимися окрестностями.

Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек таких, что их шаровые окрестности не имеют общих точек.

Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфовы топологические пространства.

Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространствами.

Определение 7. Множество называется всюду плотным в топологическом пространстве если для любой точки и любой ее окрестности пересечение непусто.

Пример 6. Если в рассмотреть стандартную топологию, множество рациональных чисел является всюду плотным в Аналогично множество рациональных точек всюду плотно

Можно показать, что в каждом топологическом пространстве имеется всюду плотное множество; мощность которого не превосходит веса этого топологического пространства.

Определение -Метрическое пространство, обладающее счетным всюду плотным множеством, называется сепарабельным пространством.

Пример 7. Метрическое пространство в любой из стандартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку множество всюду плотно в нем.

Пример 8. Метрическое пространство с метрикой, определенной соотношением (6), также сепарабельно, ибо, как следует из равномерной непрерывности график, любой такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечнозвенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты. Множество таких Ломаных счетно.

Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными пространствами.

Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в топологическом пространстве дословно совпадает с определением окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно, рассмотренные в § 1 понятия внутренней, внешней, граничной, предельной точки множества и понятия замыкания множества, использующие только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай произвольного топологического пространства.

Кроме того (как видно из проведенного в гл. VII, § 1 доказательства утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество», в топологическом пространстве замкнуто в том и только в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки.