§ 2. Интеграл по множеству

1. Допустимые множества.

В дальнейшем предстоит интегрировать функции не только по промежутку, но и по другим не слишком сложным множествам в

Определение 1. Множество будем называть допустимым, если оно ограничено в и его граница есть множество меры нуль (в смысле Лебега).

Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в являются допустимыми множествами.

Пример 2. Пусть определенные на -мерном промежутке функции таковы, что в любой точке Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2 из § 1 можно утверждать, что область в ограниченная графиками этих функций и боковой цилиндрической поверхностью, лежащей над границей промежутка является допустимым множеством в

Напомним, что граница дБ множества состоит из точек, в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и точки дополнения Е в Значит, справедлива

Лемма 1. Для любых множеств

— замкнутое в множество;

Отсюда и из определения 1 вытекает, что имеет место

Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа допустимых множеств является допустимым множеством; разность допустимых множеств — тоже допустимое множество.

Замечание 1. Для бесконечного количества допустимых множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и соответствующие утверждения b) и с) леммы 1.

Замечание 2. Граница допустимого множества не только замкнутое, но и ограниченное множество в т. е. это — компакт в Значит, по лемме 3 из § 1 ее можно покрыть даже

конечной системой промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов.

Рассмотрим теперь характеристическую функцию

допустимого множества Е. Как и для любого множества Е, функция имеет разрывы в граничных и только в граничных точках множества Е. Значит, если Е — допустимое множество, то функция непрерывна почти во всех точках пространства