3. Некоторые примеры.

Пример 1. Пусть — определенная в непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, — гладкая вещественнозначная функция, определенная на отрезке

Рассмотрим функцию

задаваемую соотношением

Таким образом, (2) есть вещественнозначный функционал, определенный на множестве функций

В физике и механике известны фундаментальные вариационные принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истинные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов, — нейтральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной самостоятельной задачей, теории

которой посвящен обширный раздел анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя естественным. Однако мы не будем углубляться в специальные вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функционала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования и исследования локальных экстремумов.

Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым отображением и найдем его дифференциал.

Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию отображения

задаваемого формулой

и последующего отображения

Отображение в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.

Покажем, что отображение тоже дифференцируемо, причем

при

Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном приращении в нашем случае можно записать, что

где

Если теперь вспомнить, что в норма функции есть есть максимум модуля функции на отрезке то, полагая из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность функций

на ограниченных подмножествах получаем шах

Но это и означает, что имеет место равенство (7).

В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений теперь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и

Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффинное пространство тех функций которые на концах отрезка принимают фиксированные значения . В этом случае функции из касательного пространства должны на концах отрезка иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9) интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, можно привести к виду

разумеется, уже в предположении, что принадлежат соответствующему классу

В частности, если — точка экстремума (экстремаль) такого функционала, то, согласно теореме при любой функции такой, что Отсюда и из (10) нетрудно заключить (см. задачу 3), что функция должна удовлетворять уравнению

Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера—Лагранжа.

Рассмотрим теперь конкретные примеры.

Пример 2. Задача о кратчайшей.

Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину.

Ответ в данном случае Очевиден, и он скорее послужит контролем над следующим» формальными выкладками.

Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система координат, в которой указанными точками являются, например,

точки (0, 0) и (1, 0). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, которые являются графиками функций принимающих на концах отрезка [0, I] нулевые значения. Длина такой кривой

зависит от функции и является функционалом рассмотренного в примере 1 типа. В данном случае функция имеет вид

поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к уравнению

из которого следует, что на отрезке [0, 1]

Поскольку функция нигде непостоянна, то (13) возможно лишь при условии, что на Таким образом, гладкая экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график которой проходит через точки (0, 0), (1, 0). Отсюда следует, что и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки.

Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска.

Эта классическая, поставленная в 1696 г. Иоганном (первым) Бернулли задача о брахистохройе состоит в отыскании формы желоба, вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за кратчайшее время переходит из заданной точки в другую фиксированную точку расположенную на более низком уровне.

Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать, что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения.

В вертикальной плоскости, проходящей через точки введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка была ее началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка имела положительные координаты Форму желоба будем искать только среди графиков, заданных на отрезке гладких функций, удовлетворяющих условиям На исследовании этого отнюдь небесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см. задачу 4).

Если частица начинала свое движение из точки с нулевой скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе координат запишется в виде

Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле

найдем время

движения вдоль траектории, заданной графиком функции на отрезке

Для функционала (16)

поэтому необходимое условие экстремума (11) в данном случае сводится к уравнению

из которого следует, что

где с — отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной вертикали!).

С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде

Однако с геометрической точки зрения

где — угол между касательной к траектории и положительным направлением оси

Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим

Но из (19) и (20) следует, что

откуда находим

Полагая запишем соотношения (20) и (21) в виде

Поскольку то лишь при Из вида функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать, что точке отвечает значение параметра В этом случае и мы приходим к более простой форме

параметрического задания искомой кривой.

Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в исходной точке точку возврата с вертикальной касательной.

Постоянная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы кривая (23) прошла также через точку Такой выбор, как можно заметить, нарисовав кривую (23), вовсе не всегда является однозначным, и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11), вообще говоря, не является достаточным. Из физических соображений, однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует отдать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым вычислением).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)