4. Интеграл от формы по многообразию.

Определение 7. Пусть М — -мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором координаты и ориентация задаются одной картой с областью параметров Пусть — -форма на М и а — ее координатное представление в области Тогда

где слева стоит определяемый интеграл от формы по ориентированному многообразию М, а справа — интеграл от функции а по области

Если — другой состоящий из одной карты атлас М, задающий на М ту же ориентацию, что и атлас то якобиан функции преобразования координат всюду положителен в области Форме отвечает форма

По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство

показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора системы координат на М.

Итак, определение 7 корректно.

Определение 8. Носителем определенной на многообразии М формы называется замыкание множества тех точек где

Носитель формы обозначается символом . В случае -форм, т. е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя координатное представление формы в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени.

Определение 9. Заданная на многообразии М форма называется финитной формой, если — компакт в М.

Определение 10. Пусть — финитная форма степени на -мерном гладком многообразии М, ориентированном атласом А. Пусть — конечный набор карт атласа А, районы действия которых покрывают — подчиненное этому покрытию разбиение единицы на Повторяя некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что и что .

Интегралом от финитной формы по ориентированному многообразию М называется величина

где - координатное представление формы в области изменения координат соответствующей локальной карты.

Докажем корректность этого определения.

Пусть — другой атлас, задающий на М ту же гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, и пусть соответствующее покрытие и подчиненное ему разбиение единицы на Введем функции и положим

Заметим, что муст Отсюда и из корректности определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентированному многообразию вытекает, что

Суммируя эти равенства по от 1 до и по от 1 до с учетом того, что получим интересующее нас тождество.

5. Формула Стокса.

Теорема. Пусть М — ориентированное гладкое -мерное многообразие и — гладкая финитная дифференциальная форма степени на нем. Тогда

где ориентация края многообразия М берется согласованной с ориентацией многообразия М. Если же то

Без ограничения общности можно считать, что областями изменения координат (параметров) всех локальных карт многообразия М являются либо открытый куб либо куб с одной (определенной!) присоединяемой к кубу гранью.

С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к случаю, когда лежит в районе действия одной карты вида или : . В координатах этой карты форма имеет вид

где символ как обычно, означает пропуск соответствующего множителя.

В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для одного члена

суммы. Дифференциалом такой формы является -форма

Для карты вида оба интеграла в (18) от соответствующих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что а второй — по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотношение Этим заодно исчерпывается случай, когда

Таким образом, остается проверить равенство (18) для карты

Если , то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что следует из приведенных выше соображений.

Если

Итак, при формула (18) доказана.

Случай совпадает с формулой Ньютона — Лейбница, если принять, что концы а, Р ориентированного отрезка отмечаются знаками а интеграл от -формы по, такой ориентированной точке полагается равным соответственно.

По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания. Замечание 1. В формулировке теоремы ничего не говорится о гладкости многообразия М и формы со. В таких случаях обычно подразумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость Из доказательства теоремы видно, однако, что формула (18) верна и для форм класса на многообразии М, допускающем формы такой гладкости.

Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из самой формулы (18), видно также, что если — компакт, лежащий строго внутри М, т. е. то

Замечание 3. Если М — компактное многообразие, то для любой формы со на М ее носитель , как замкнутое подмножество компакта М, является компактом. Следовательно, в этом случае любая форма на М является финитной и имеет место равенство (18). В частности, если М — компактное многообразие без края, то для любой гладкой формы на М имеет место равенство

Замечание 4. Для произвольных (не финитных) форм на многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула (18), вообще говоря, не имеет места.

Рассмотрим, например, знакомую нам форму в круговом кольце наделенном стандартными декартовыми координатами. В этом случае М —

компактное двумерное ориентированное многообразие, край которого состоит из двух окружностей . Поскольку , то по формуле (18) находим, что

где обе окружности и пробегаются против часовой стрелки. Мы знаем, что

Значит, если вместо М рассмотреть многообразие то и

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)