3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы.
а. Векторные варианты формулы Гаусса — Остроградского.
Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей, аналогичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно получить из следующих классических формул векторного анализа, связанных с формулой Гаусса—Остроградского:
Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений совпадает с равенством (5) и является формулой Гаусса—Остроградского. Векторные равенства (9), (10) вытекают из (8), если применить эту формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля.
Сохраняя те же обозначения 
что и в равенстве (6), из формул (8) — (10) единообразно получаем
Правые части равенств 
можно интерпретировать соответственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток векторного поля А и как векторный поток скалярного поля 
через поверхность 
ограничивающую область V. Тогда величины 
стоящие в левых частях равенств (6), (11), (12), можно интерпретировать как соответствующие плотности распределения источников этих полей.
Заметим, что правые части соотношений (6), (11), (12) не зависят от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвариантности градиента, ротора и дивергенции.
b. Векторные варианты формулы Стокса.
Подобно тому, как формулы 
были результатом совмещения формулы Гаусса — Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает в качестве первого из этих трех соотношений).
Пусть 
— (кусочно) гладкая компактная, ориентированная поверхность с согласованно ориентированным краем 
— векторный элемент площади на поверхности 
— векторный элемент длины на 
Тогда для гладких полей 
имеют место свотношения
Формулы (14), (15) вытекают из формулы Стокса (13). На их доказательстве мы здесь - не останавливаемся.
c. Формулы Грина.
Если 
некоторая поверхность, 
единичный вектор нормали к 
то производную 
функции 
по вектору 
в теории поля чаще всего записывают символом
Например, 
Таким образом, 
есть поток поля 
через элемент 
поверхности.
В этих обозначениях можно записать следующие достаточно широко используемые в векторном анализе и теории поля формулы Грина:
В частности, если в (16) положить 
а в (17) положить 
то соответственно получим
Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса. Докажем, например, второе из равенств (16), (17);
Мы воспользовались формулой Гаусса—Остроградского и тем, что 
Задачи и упражнения
(см. скан)
