3. Некоторые примеры.

Пример 1. Если — постоянное отображение окрестности а X точки то

Действительно, в этом случае, очевидно,

Пример 2. Если отображение есть линейное непрерывное отображение линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство У, то в любой точке

Действительно,

Заметим, что на самом-то деле здесь и — вектор касательного пространства Но в линейном пространстве определен перенос вектора в любую точку что позволяет нам отождествить касательное пространство с самим линейным пространством X. (Аналогично в случае аффинного пространства пространство векторов, «приложенных» к точке можно отождествить с векторным пространством X данного аффинного пространства.) Следовательно, выбрав базис в X, его можно разнести по всем касательным пространствам Это означает, что если, например, и отображение задается матрицей то в любой точке касательное к отображение также будет задаваться той же матрицей

В частности, для линейного отображения из в при получаем соответствующее отображение

С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно сформулировать так: отображение , производное от линейного отображения линейных нормированных пространств, постоянно, причем в любой точке

Пример 3. Из правила дифференцирования композиции отображений и результата примера 2 можно заключить, что если — отображение окрестности точки , дифференцируемое в х, то

Для числовых функций, когда это не что иное, как знакомая возможность вынесения, постоянного множителя за знак дифференцирования.

Пример 4. Пусть снова — окрестность точки х нормированного пространства X, и пусть

— отображение в прямое произведение нормированных пространств

Задание такого отображения равносильно заданию отображений связанных с соотношением

справедливым в любой точке

Если теперь в формуле (1) учесть, что

то со ссылкой на результаты примеров 6 из § 1 и 10 из § 2 можно заключить, что рассматриваемое отображение дифференцируемо в точке х тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты причем в случае дифференцируемости отображения имеет место равенство

Пример 5. Пусть теперь , т. е. А — непрерывный -линейный оператор, действующий из произведения линейных нормированных пространств в линейное нормированное пространство

Докажем дифференцируемость отображения

и найдем его дифференциал.

Используя полилинейность А, находим, что

Поскольку норма удовлетворяет неравенствам

а норма оператора А конечна и

можно заключить, что

где

Но оператор

есть линейный по непрерывный (в силу непрерывности А) оператор.

Таким образом, установлено, что

или, короче,

В частности, если:

— произведение -числовых переменных, то

— скалярное произведение в то

— векторное произведение в то

— смешанное произведение в то

— определитель матрицы, составленной из координат векторов -мерного линейного пространства X с фиксированным в X базисом, то

Пример 6. Пусть -подмножество состоящее из тех линейных непрерывных операторов которые имеют непрерывные обратные операторы (принадлежащие Рассмотрим отображение

состоящее в том, что каждому оператору ставится в соответствие обратный к нему оператор .

Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о дифференцируемости этого отображения.

Утверждение 2. Если X — полное пространство и то при любом таком, что оператор также принадлежит и справедливо соотношение

Поскольку

то достаточно найти оператор обратный к оператору , где Е — тождественное (единичное) отображение пространства X на себя.

Пусть Учитывая сделанное к утверждению 2 из § 2 дополнение, можно заметить, что поэтому в силу сделанных относительно оператора предположений можно считать, что

Проверим теперь, что

где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операторов .

Ввиду полноты X (в силу утверждения 3 из § 2) линейное нормированное пространство является полным. Тогда сходимость указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, немедленно вытекает из того, что

и того, что ряд сходится, если

Непосредственная проверка

и

показывает, что мы действительно нашли

Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых рядов.

Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при

Поскольку

то из (6), в частности, следует равенство (3).

Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае полного пространства рассматриваемое отображение заведомо дифференцируемо, причем

В частности, это означает, что если — квадратная невырожденная матрица и — обратная к ней матрица, то при возмущении матрицы А с помощью матрицы с близкими к нулю элементами матрицу обратную к возмущенной матрице можно в первом приближении находить по следующей формуле:

Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя из равенства (6).

Пример 7. Пусть X — полное линейное нормированное пространство. Важное отображение

определяется следующим образом:

если

Стоящий в (7) ряд сходится, так как — полное пространство и а числовом ряд сходится.

Нетрудно проверить, что

где

Таким образом, отображение дифференцируемо при любом значении А.

Заметим, что если операторы А и коммутируют, т. е. то, как видно из выражения для в этом случае В частности, для или вместо (8) вновь получаем

Пример 8. Попробуем дать математическое описание мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о (волчок). Рассмотрим в точке о ортонормальный репер жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне характеризуется положением такого орторепера, а тройка мгновенных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репера в момент можно задать ортогональной матрицей , составленной из координат векторов относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера пространства. Таким образом, движению волчка отвечает отображение из (ось времени) в группу специальных ортогональных матриц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения которую

мы договорились описывать тройкой задается матрицей производной от матрицы по времени.

Поскольку — ортогональная матрица, то в любой момент выполнено соотношение

где О транспонированная по отношению к матрица, единичная матрица.

Заметим, что произведение А В матриц есть билинейная функция от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно, равна матрице, транспонированной по отношению к производной исходной матрицы. Дифференцируя равенство (10) с учетом сказанного, находим, что

или

поскольку

В частности, если считать, что в момент репер совпадаете репером пространства, то и из (11) получается, что

т. е. матрица координат векторов в базисе оказывается кососимметрической:

Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле характеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших рассуждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки зрения естественно, поскольку положение репера а значит, и самого тела описывается тремя независимыми параметрами (в механике это, например, углы Эйлера).

Если с каждым вектором пространства, приложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой скоростью относительно определяемой этим вектором оси, то из полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости вращения (см. задачу 5).