2. Исследование внутренних экстремумов.

Используя формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифференциальные условия внутреннего локального экстремума вещественнозначной функции, определенной на некотором открытом множестве нормированного пространства. Как мы увидим, эти условия аналогичны уже известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественнозначной функции вещественного переменного.

Теорема 2. Пусть — вещественнозначная функция, определенная на открытом множестве нормированного пространства X и имеющая в окрестности некоторой точки непрерывные производные отображения до порядка включительно, а также производное отображение порядка в самой точке х.

Если , то для того, чтобы х была точкой экстремума функции необходимо, чтобы было четно, а форма была полуопределенной;

достаточно, чтобы значения формы на единичной сфере были отделены от нуля; при этом, если на этой сфере

то х — точка локального минимума, а если

то х — точка локального максимума.

Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение (1) функции в окрестности точки х. Сделанные предположения позволяют записать, что

где — вещественнозначная функция, причем при

Докажем сначала необходимые условия.

Поскольку найдется вектор на котором Тогда при значениях вещественного параметра достаточно близких к нулю,

и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что и

Для того чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы левая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака при изменении знака Но это возможно, только если четно.

Проведенное рассуждение показывает, что если х — точка экстремума, то знак разности при достаточно малых значениях совпадает со знаком и, следовательно, в этом случае не может быть двух векторов на которых бы форма принимала значения разных знаков.

Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для определенности рассмотрим случай, когда при Тогда

и, поскольку при последний член неравенства положителен для всех достаточно близких к нулю векторов . Таким образом, для всех таких векторов

— точка строгого локального минимума.

Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального максимума.

Замечание 1. Если пространство X конечномерно, то единичная сфера с центром в точке являясь ограниченным

замкнутым множеством в X, компактна. Тогда непрерывная функция (-форма) имеет на как максимальное значение, так и минимальное значение. Если эти значения разных знаков, то экстремума в точке х функция не имеет. Если же эти значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно, можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенности (положительной или отрицательной) формы

Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении вещественнозначных функций в

Замечание 2. Как мы видели на примере функций указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность формы еще не является достаточным признаком экстремума.

Замечание 3. На практике при исследовании экстремумов дифференцируемых функций обычно пользуются только первым или первым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту точку х, где