Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть — открытое множество в нормированном пространстве X, а
— отображение в нормированное пространство
Если отображение (1) дифференцируемо в то в определено производное от отображение
Пространство является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т. е. и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.
Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное отображение
называют вторым производным отображением или вторым дифференциалом от и обозначают символом или . И вообще принимается следующее индуктивное
Определение 1. Производным отображением порядка или дифференциалом отображения (1) в точке называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка от
Если производное отображение порядка в точке обозначать символом то определение 1 означает, что
Таким образом, если определено, то
Следовательно, на основании утверждения 4 из § 2 дифференциал порядка отображения (1) в точке х можно интерпретировать как элемент пространства
-линейных непрерывных операторов.
Отметим еще раз, что касательное отображение есть отображение касательных пространств, каждое из которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством и говорили на этом основании, что Именно это рассмотрение элементов различных пространств как векторов одного и того же пространства X (X; У) лежит в основе определений высших дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах.
— открытое множество в нормированном пространстве X, а
в нормированное пространство 
то в 
определено производное от 
отображение
является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т. е. 
и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.
и обозначают символом 
или 
. И вообще принимается следующее индуктивное
или 
дифференциалом отображения (1) в точке 
называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка 
от 
в точке 
обозначать символом 
то определение 1 означает, что
определено, то
порядка 
отображения (1) в точке х можно интерпретировать как элемент пространства 
есть отображение касательных пространств, каждое из которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством и говорили на этом основании, что 
Именно это рассмотрение элементов 
различных пространств как векторов одного и того же пространства X (X; У) лежит в основе определений высших дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах.
