5. Формы на поверхностях.

Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности задана дифференциальная -форма , если в каждой точке на векторах касательной к плоскости определена -форма

Пример 15. Если гладкая поверхность лежит в области в которой определена форма , то поскольку в любой точке имеет место включение можно рассмотреть сужение формы на Так на возникает форма

которую естественно назвать сужением формы со на поверхность

Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается параметрически Пусть — параметризованная гладкая поверхность в области а —форма в Тогда форму можно перенести в область параметров и записать в координатном виде в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ярно, что получаемая при этом в форма совпадает с формой

Заметим, что коль скоро в любой точке есть изоморфизм между то можно переносить формы как с на так и с на поэтому как сами гладкие поверхности обычнй задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в конечном счете обычно задают в областях изменения параметров локальных карт.

Пример 16. Пусть — рассмотренная в примере 8 форма потока, порожденная векторным полем скоростей течения V в области ориентированного евклидова пространства Если — гладкая ориентированная поверхность в то можно рассмотреть сужение формы на Получаемая при этом форма характеризует поток через каждый элемент поверхности

Если — локальная карта поверхности то, сделав замену переменных в координатном выражении (12) формы получим координатное выражение определенной на квадрате I формы в данных локальныхкоординатах поверхности.

Пример 17. Пусть — рассмотренная в примере 7 форма работы, порожденная действующим в области евклидова пространства полем сил Пусть — гладкий путь ( - не обязательно гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом сужения и переноса форм на отрезке I возникает форма координатное представление которой можно получить, выполнив замену переменных в координатном выражении (11) формы

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)