ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке

1. Определение интеграла.

a. Промежуток в R^n и его мера.

Определение 1. Множество называется промежутком или координатным параллелепипедом в

Если желают отметить, что промежуток определяется точками то его часто обозначают символом или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде

Определение 2. Промежутку ставится в соответствие число называемое объемом или мерой промежутка.

Объем (меру) промежутка I обозначают также символами или

Лемма 1. Мера промежутка в

однородна, т. е. если то

аддитивна, т. е. если промежутки таковы, что и промежутки попарно не имеют общих внутренних точек, то

если промежуток I покрыт конечной системой промежутков Все эти утверждения легко вытекают из определений I и 2.

b. Разбиение промежутка и база в множестве разбиений.

Пусть задан промежуток Разбиения

координатных отрезков индуцируют разбиение промежутка I на более мелкие промежутки, получающиеся прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных отрезков.

Определение 3. Описанное представление промежутка I (в виде объединения более мелких промежутков будем называть разбиением промежутка I и обозначать символом Р. де ни Величина шах (максимального из диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разбиения Р.

Определение 5. Если в каждом промежутке разбиения Р фиксирована некоторая точка то говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками.

Набор как и прежде, будем обозначать одним символом , а разбиение с отмеченными точками — символом

В множестве разбиений с отмеченными точками промежутка I вводится база элементы которой, как и в одномерном случае, определяются соотношением

То, что — действительно база, следует из существования разбиений с параметром сколь угодно близким к нулю.

с. Интегральная сумма и интеграл.

Пусть — веществениозначная функция на промежутке — разбиение этого промежутка с отмеченными точками

Определение 6. Сумма

называется интегральной суммой (Римана) функции соответствующей разбиению с отмеченными точками промежутка I. Определение 7. Величина

если указанный предел существует, называется интегралом (Римана) от функции на промежутке I.

Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс построения интеграла на промежутке дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на

отрезке. Для большего сходства мы даже оставили прежний вид подынтегрального выражения. Равносильные, но более развернутые обозначения интеграла таковы:

Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной области говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размерностью I).

d. Необходимое условие интегрируемости.

Определение 8. Если для функции указанный в определении 7 конечный предел существует, то называется интегрируемой (по Риману) функцией на промежутке I.

Множество всех таких функций будем обозначать символом

Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрируемости.

Утверждение ограничена на I.

Пусть Р — произвольное разбиение промежутка Если функция неограничена на то она неограничена и на некотором промежутке разбиения Р. Если — разбиения Р с такими отмеченными наборами точек, что и отличаются только выбором точек в промежутке то

меняя одну из точек при неограниченности мы могли бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой. В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы функции не имеют предела при .