2. Некоторые общие свойства свертки.

Рассмотрим теперь с математической точки зрения основные свойства свертки.

а. Достаточные условия существования.

Напомним сначала некоторые определения и обозначения.

Пусть — вещественно или комплекснозначная функция, определенная на открытом множестве

Функция называется локально интегрируемой на если любая точка имеет окрестность в которой функция абсолютно интегрируема хотя бы в несобственном смысле. В частности, если локально ограничена, условие локальной интегрируемости функции очевидно, равносильно тому, что для любого отрезка

Носителем функции (обозначение называется замыкание в множества

Функция называется финитной (в если ее носитель — компакт.

Множество функций имеющих в непрерывные производные до порядка включительно, принято обозначать символом , а его подмножество, состоящее из финитных функций, — символом . В случае, когда вместо принято употреблять сокращения соответственно.

Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки функций, в которых без труда обосновывается ее существование.

Утверждение 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий является достаточным для существования свертки локально интегрируемых функций и:

1) Функции интегрируемы в квадрате на

2) Одна из функций интегрируема на а другая ограничена на

3) Одна из функций и, финитна.

I) По неравенству Коши—Буняковского

откуда и следует существование интеграла (2), поскольку

2) Если, например, — интегрируемая на функция, на то

3) Пусть Тогда, очевидно,

Поскольку и локально интегрируемы, последний интеграл существует при любом значении

Случай, когда финитной является функция сводится к разобранному заменой переменной

b. Симметричность.

Утверждение 2. Если свертка существует, то существует также свертка и имеет место равенство

Выполнив в интеграле (2) замену переменной получаем

c. Сохранение сдвигов.

Пусть, как и выше, — оператор сдвига, т. е.

Утверждение 3. Если свертка функций и существует, то справедливы следующие равенства.

Если вспомнить физический смысл формулы (1), то первое из написанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается из симметричности свертки. Проведем, однако,

формальную проверку первого равенства:

d. Дифференцирование свертки.

Свертка функций является интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий.

Условия, при которых свертка (2) функций непрерывно дифференцируема, заведомо выполнены, если, например, — непрерывная, — гладкая функция и одна из функций — финитна.

Действительно, если ограничить изменение параметра любым конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2) сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от конечному отрезку. А такой интеграл уже можно дифференцировать по параметру в соответствии с классическим правилом Лейбница.

Вообще справедливо следующее

Утверждение 4. Если и — локально интегрируемая функция, а V — финитная функция класса то причем

Когда — непрерывная функция, утверждение непосредственно следует из только что доказанного выше. В общем виде оно получается, если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 § 1.

Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем померить местами и и сохранив, однако, левую часть равенства (5).

Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором сдвига (формула Но если формула (4) симметрична по и и то в правой части формулы (5) и и и, вообще говоря, нельзя поменять местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей производной. То, что свертка как видно из (5), при этом все же может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не необходимыми для дифференцируемости свертки.

Пример 1. Пусть локально интегрируемая функция, а - «ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда

и, следовательно, в любой точке непрерывности функции свертка уже оказывается дифференцируемой — усредняющее действие интеграла.

Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для всех встречающихся случаев применения формулы (5). По этой причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а предпочтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности, которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему действию свертки.