2. Общие законы дифференцирования.

Из определения 1 вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования. В приводимых ниже формулировках — нормированные пространства, — открытые множества в X и Y соответственно.

а. Линейность дифференцирования.

Если отображения дифференцируемы в точке то их линейная комбинация

также дифференцируема в точке х, причем

Таким образом, дифференциал линейной комбиниции отображений есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих отображений.

b. Дифференцирование композиции отображений.

Если отображение дифференцируемо в точке , а отображение дифференцируемо в точке то композиция этих отображений дифференцируема в (Ночке х, причем

Таким, образом, дифференциал композиции равен композиции диффренциалов.

c. Дифференцирование обратного отображения.

Пусть — непрерывное в точке отображение, имеющее обратное определенное в окрестности точки и непрерывное в этой точке.

Если отображение дифференцируемо в точке х и его касательное отображение в этой точке; имеет непрерывное обратное отображение дифференцируемо в точке причем

Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения в соответствующей точке.

Доказательства утверждений с мы опускаем, поскольку они аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. VIII, § 3 для случая