§ 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций

Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящимся., однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных функций. Все эти вопросы, как впрочем, и сама метрика

пространства непрерывных функций, тесно связаны с понятием равномерной сходимости.

1. Теорема Арцела — Асколи.

Определение 1. Семейство В функций определенных на множестве X и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется равномерно ограниченным на множестве X, если множество значений функций семейства ограничено в

Для числовых функций или для функций это попросту означает существование такой константы что для любого и любой функции будет

Определение 2. Пусть X и — метрические пространства. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на множестве X, вели для любого существует такое, что при соотношение влечет какова бы ни была функция семейства..

Пример 1. Семейство функций не является равностепенно непрерывным на отрезке [0, 1], но оно равностепенно непрерывно на любом отрезке вида где

Пример 2. Семейство функций не равностепенно непрерывно ни на каком невырожденном отрезке

Пример 3. Если семейство дифференцируемых функций таково, что семейство их производных равномерно ограничено постоянной, то, как следует из формулы конечных приращений, и, значит, исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке

Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных функций демонстрирует уже следующая

Лемма 1. Пусть и Y — метрические пространства, причем — компакт. Для того чтобы последовательность непрерывных функций сходилась на компакте равномерно, необходимо, чтобы семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Пусть на По теореме 2 из § 3 заключаем, что Из равномерной непрерывности на компакте вытекает, что для любого найдется такое что при По этому же найдем такой номер чтобы при в любой точке иметь . Сопоставляя эти неравенства,

пользуясь неравенством треугольника, находим, что при любом из следует Значит, семейство равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепенно непрерывное семёйство состоящее из конечного числа непрерывных на компакте функций, получим равностепенно непрерывное семейство

То, что оно равномерно ограничено, вытекает из ограниченности компакта неравенства справедливого при а также из ограниченности множества

На самом деле справедлива следующая общая

Теорема 1 (Ариела — Асколи) Пусть — семейство функций определенных на метрическом компакте со значениями в полном метрическом пространстве

Для того чтобы любая последовательность содержала равномерно сходящуюся подпоследовательность, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Необходимость. Если бы не было равномерно ограниченным семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последовательность функций с неограниченным в совокупности множеством значений, из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Если семейство У не равностепенно непрерывно, то найдутся число и такие последовательность функций и последовательность пар точек сходящихся при к некоторой точке что Тогда из последовательности нельзя извлечь сходящуюся равномерно подпоследовательность: ведь по лемме 1 функции такой подпоследовательности Должны были бы доставлять равностепенно непрерывное семейство.

Достаточность Компакт будем считать бесконечным множеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в счетное всюду плотное подмножество Е — последовательность Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение точек конечных -сетей в получаемых при

Пусть — произвольная последовательность функций семейства

Последовательность значений этих функций в точке по условию ограничена в У и, поскольку — полное пространство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность

Функции полученной последовательности, как будет видно, удобно обозначить через Индекс 1 показывает, что это последовательность, построенная по точке

Из полученной последовательности извлечем подпоследовательность которую обозначим через такую, что последовательность является сходящейся.

Продолжая этот процесс, получим серию последовательностей. Если теперь взять «диагональную» последовательность то она, как легко видеть, будет сходиться в любой точке всюду плотного множества

Покажем, что последовательность сходится в любой точке компакта и что ее сходимость равномерная на Для этого фиксируем и подберем в соответствии с определением 2 равностепенной непрерывности семейства Пусть — конечное подмножество Е, образующее -сеть в Поскольку последовательности сходятся, найдется такой номер что при будет для

Для каждой точки найдется такая точка что В силу равностепенной непрерывности семейства отсюда следует, что при любом Используя полученные неравенства, теперь находим, что при любых

Но — произвольная точка компакта значит, по критерию Коши последовательность действительно равномерно сходится на