3. Формула Стокса в R^3.

Утверждение 3. Пусть — ориентированная кусочно гладкая компактная двумерная поверхность с краем лежащая в области в которой задана гладкая -форма Тогда имеет место соотношение

где ориентация края берется согласованной с ориентацией поверхности

В иной записи это означает, что

Если С — стандартная параметризованная поверхность где — квадрат в то для С соотношение (10) вытекает из равенств (4), - с учетом доказанной для квадрата и используемой в них формулы Грина.

Если ориентируемую поверхность можно разрезать на простейшие поверхности указанного вида, то для такой поверхности соотношение (10) тоже справедливо, что следует из равенств (5) с заменой в них на

Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение.

Покажем, как выглядело бы приведенное доказательство формулы (10) в координатной записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких выражений, мы распишем только первую и основную из двух его фраз, да и то с некоторыми упрощениями. А именно, введем обозначения для координат точки

и проверим только, что

поскольку остальные два слагаемых левой части формулы (10) можно исследовать аналогично. Будем для простоты считать, что получается при гладком отображении области лежащей в плоскости переменных и ограниченной одной гладкой кривой параметризованной с помощью отображения точками отрезка (рис. 90).

Рис. 90

Тогда край поверхности можно записать в виде где пробегает отрезок . Используя определение интеграла по кривой, формулу Грина для плоской области и определение интеграла по параметризованной поверхности; последовательно находим

Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а восклицательным знаком — переход, использующий уже доказанную формулу Грина. Остальное — тождественные преобразования.

Используя основную идею доказательства формулы (10), мы, таким образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что но фактически доказав это в рассматриваемом

случае), что формула (10) для простой параметризованной поверхности действительно имеет место. Формально мы провели рассуждение только для члена но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся слагаемых -формы, стоящей под знаком интеграла в левой части равенства (10).