2. Аддитивность интеграла.
Хотя мы всегда будем иметь дело с допустимыми множествами 
можно было этого и
не предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о допустимых множествах.
Утверждение 2. Пусть 
— допустимые множества в 
— функция, определенная на 
Имеют место соотношения
Если еще известно, что 
то при условии существования интегралов имеет место равенство
Утверждение а) следует из критерия Лебега существования интеграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, § 2). При этом надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, § 2).
Для доказательства утверждения 
заметим сначала, что
Значит,
Дело в том, что интеграл
как нам известно из а), существует, а поскольку 
то он равен нулю (см. замечание 1).
